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]{hyperref}              % For creating hyperlinks in cross references

\hypersetup{ %
pdfauthor={F. Frascati & F. M. Stefanini}, %
pdftitle={INTRODUZIONE ALLA STATISTICA APPLICATA con esempi in R - Soluzioni degli esercizi di ricapitolazione Capitolo 5}, %
pdfsubject={Introduzione al modello lineare} %
} %

%\VignetteIndexEntry{Soluzioni degli esercizi di ricapitolazione Capitolo 5}
%\VignettePackage{ISA}
%\VignetteDepends{ISA,stats,utils,tools}
%\VignetteKeyword{univar,distribution,htest}

\title{\textbf{\LARGE INTRODUZIONE ALLA STATISTICA APPLICATA con esempi in R}\\[0.3cm] %
\makebox[\textwidth]{\large \url{http://hpe.pearsoned.it/stefanini}}\\[1cm]
\centerline{\includegraphics[height=4.26cm,width=3cm]{./Ico/Index}} 
\vspace{1cm} %
\large \bf Soluzioni degli esercizi di ricapitolazione Capitolo 5:\\ \lq\lq Introduzione al modello lineare\rq\rq\\[2pt] %
%Facoltà di Economia\\[2pt] % %Università degli Studi di Firenze\\[2pt] % 
%A.A 2006-2007\\[2pt] % 
} % 
\author{F.~Frascati \and F.~M.~Stefanini} %

\date{\today\\[20pt] \includegraphics[height=2.117cm,width=2.787cm]{./Ico/show}} %

\linespread{1.3}

\begin{document}

\SweaveOpts{prefix.string=figure/Capitolo5/Esercizio,eps=F,echo=F} %
\setkeys{Gin}{width=0.75\textwidth} %

\maketitle

<<results=hide>>=
library(ISA)
library(car)
prova<-function(ridotto,esteso,displayridotto=TRUE,displayesteso=TRUE,displaytest=TRUE,alpha=0.05){
if(displayridotto){
cat("\nMODELLO RIDOTTO:")
print(matrix(ridotto$beta[,1],nrow=length(ridotto$beta),dimnames=list(rownames(ridotto$beta),character(1))))
cat("\nVarianza stimata: ",ridotto$varianzaStimata,"\n")
cat("Devianza residua: ",ridotto$varianzaStimata*(length(vY)-length(ridotto$beta)),"\n")
cat("gradi di libertà: ",length(vY)-length(ridotto$beta),"\n")
}
if(displayesteso){
cat("\nMODELLO ESTESO:")
print(matrix(esteso$beta[,1],nrow=length(esteso$beta),dimnames=list(rownames(esteso$beta),character(1))))
cat("\nVarianza stimata: ",esteso$varianzaStimata,"\n")
cat("Devianza residua: ",esteso$varianzaStimata*(length(vY)-length(esteso$beta)),"\n")
cat("gradi di libertà: ",length(vY)-length(esteso$beta),"\n")
}
devResRidotto <- sum(ridotto$residui^2)
devResEsteso <- sum(esteso$residui^2)
parzialeDeltaRes <- devResRidotto-devResEsteso
Fempirico <- (parzialeDeltaRes/(length(esteso$beta)-length(ridotto$beta))) / (esteso$varianzaStimata)
GDLNUM <- length(esteso$beta)-length(ridotto$beta)
GDLDEN <- length(esteso$Y)-length(esteso$beta)
Fcrit <- qf(1-alpha,df1=GDLNUM,df2=GDLDEN)
if(displaytest){
cat("\nTEST DI IPOTESI:\n")
cat("Contributo parziale: ",parzialeDeltaRes,"\n")
cat("Fempirico: ",Fempirico,"\n")
cat("Fteorico: ",Fcrit,"\n")
cat("gradi di libertà: (",GDLNUM,",",GDLDEN,")\n")
if(Fempirico>Fcrit) cat("\nRifiutare H0 con ampiezza",alpha,"\n") else cat("\nNon rifiutare H0 con ampiezza",alpha,"\n")
}
}    
@
 
\section*{Esercizio 5.3.1} \addcontentsline{toc}{section}{Esercizio 5.3.1}

La tabella 5.8 contiene degli errori. La tabella corretta corrisponde ai dati sotto
riportati (\verb+T = Temperatura+, \verb+V = Vitamina+, \verb+P = Proteina+):

<<>>=
data(esercizio.5.3.1)
names(esercizio.5.3.1) <- c("T","V","P")
dataDF <- esercizio.5.3.1
@

\begin{itemize}
\item[1)]
In termini matriciali $Y = X\, \beta + \varepsilon$ con $Y$ trasposto definita da \verb+P+:

<<5-3-1-risposta1a>>=
options(contrasts=c("contr.treatment","contr.poly"))
dataDF$T <- as.factor(dataDF$T) 
dataDF$V <- as.factor(dataDF$V)
vY <- dataDF$P
m1 <- aov(formula=P ~ T * V, data=dataDF)
cat("aov(formula = P ~ T + V + T : V)\n")
@

e la matrice del disegno (due fattori con interazione):

<<5-3-1-risposta1b>>=
tmp <- model.matrix(m1)
dimnames(tmp)[[2]][1] <- "beta0"
tmp
@

\item[2)]

<<5-3-1-risposta2>>=
matrix(coef(m1),ncol=1,dimnames=list(names(coef(m1)),character(1)))
matX <- as.matrix(tmp)
res <- FLinearMod(vY,matX)
cat("Stima della Varianza: ",res$varianzaStimata,"\n")
@

\item[3)]

<<5-3-1-risposta3>>=
anova(m1)
cat("Fteorico con gradi di libertà (",3,",",11,"): ",qf(0.99,3,11),"\n")
cat("Fteorico con gradi di libertà (",1,",",11,"): ",qf(0.99,1,11),"\n")
@

\item[4)]
\begin{figure}[h]
\centering
<<5-3-1-risposta4,fig=T>>=
qqnorm(res$residui)
qqline(res$residui,col=2)
@
 \caption{\href{file:Figure/Capitolo5/Esercizio-5-3-1-risposta4.pdf}{Q-Q Plot}}
 \label{fig:5-3-1-risposta4}
\end{figure}

La Figura~\begin{NoHyper}\ref{fig:5-3-1-risposta4}\end{NoHyper} mostra
il diagramma Q-Q Plot dei residui del modello finale.

\item[5)]
Il principale commento riguarda la fonte di variazione \verb+T+ che è
risultata significativa.

\end{itemize}    

\section*{Esercizio 5.3.2} \addcontentsline{toc}{section}{Esercizio 5.3.2}

\begin{figure}[h]
\centering
<<5-3-2-risposta0,fig=T>>=
dataDF <- esercizio.5.3.1
plot(dataDF)
@
 \caption{\href{file:Figure/Capitolo5/Esercizio-5-3-2-risposta0.pdf}{Diagramma di dispersione}}
 \label{fig:5-3-2-risposta0}
\end{figure}

La Figura~\begin{NoHyper}\ref{fig:5-3-2-risposta0}\end{NoHyper} rappresenta il diagramma di dispersione.

\begin{itemize}
\item[1)]
<<5-3-2-risposta1>>=
vY <- dataDF$P
matX <- cbind(beta0=1,T = dataDF$T)
modT <- FLinearMod(vY,matX)
matrix(modT$beta[,1],nrow=length(modT$beta[,1]),dimnames=list(rownames(modT$beta),character(1)))
cat("Varianza stimata: ",modT$varianzaStimata,"\n")
@

\item[2)]
<<5-3-2-risposta2>>=
matX <- cbind(beta0=1,V = dataDF$V)
modV <- FLinearMod(vY,matX)
matrix(c(modV$beta[1,1],modV$beta[2,1]),nrow=2,dimnames=list(c("beta0","V"),character(1)))
cat("Varianza stimata: ",modV$varianzaStimata,"\n")
@

\item[3)]
<<5-3-2-risposta3>>=
matR <- cbind(beta0=1,T = dataDF$T,V = dataDF$V)
matE <- cbind(beta0=1,T=dataDF$T,V=dataDF$V,TV=dataDF$T*dataDF$V)
ridotto <- FLinearMod(vY,matR)
esteso <- FLinearMod(vY,matE)
prova(ridotto,esteso,displayridotto=F,displayesteso=T,displaytest=F,alpha=0.05)
@

\item[4)]
<<5-3-2-risposta4>>=
alpha <- 1-0.97
estrattore <-2
cat("1-alpha: ",1-alpha,"\n")
elle1 <- ridotto$beta[estrattore, ]-qt(1-alpha/2,df=16-3)*sqrt(ridotto$varianzaStimata*ridotto$inversaXTX[estrattore,estrattore])
elle2 <- ridotto$beta[estrattore, ]+qt(1-alpha/2,df=16-3)*sqrt(ridotto$varianzaStimata*ridotto$inversaXTX[estrattore,estrattore])
cat("Intervallo di confidenza per beta1: (",elle1,",",elle2,")\n")
estrattore <-3
elle1 <- ridotto$beta[estrattore, ]-qt(1-alpha/2,df=16-3)*sqrt(ridotto$varianzaStimata*ridotto$inversaXTX[estrattore,estrattore])
elle2 <- ridotto$beta[estrattore, ]+qt(1-alpha/2,df=16-3)*sqrt(ridotto$varianzaStimata*ridotto$inversaXTX[estrattore,estrattore])
cat("Intervallo di confidenza per beta2: (",elle1,",",elle2,")\n")
@

\item[5)]
<<5-3-2-risposta5>>=
m1 <- lm(P ~ T+V, data=dataDF)
previsione <- predict(m1,data.frame(T=27,V=2))
cat("E[P | T = 27, V = 2] = ",previsione,"\n")
@

\item[6)]
<<5-3-2-risposta6>>=
xfuturo <- cbind(1,27,2)
attesa <- xfuturo%*%ridotto$beta
alpha <- 1-0.95
cat("1-alpha: ",1-alpha,"\n")
elle1 <- attesa-qt(1-alpha/2,df=16-3)*sqrt(ridotto$varianzaStimata)*sqrt(1 + xfuturo %*% ridotto$inversaXTX %*%t(xfuturo))
elle2 <- attesa+qt(1-alpha/2,df=16-3)*sqrt(ridotto$varianzaStimata)*sqrt(1 + xfuturo %*% ridotto$inversaXTX %*%t(xfuturo))
cat("Intervallo di previsione per la media condizionata: (",elle1,",",elle2,")\n")
@
\end{itemize}

\section*{Esercizio 5.3.3} \addcontentsline{toc}{section}{Esercizio 5.3.3}

\begin{itemize}
<<>>=
data(esercizio.5.3.3)
dataDF  <- esercizio.5.3.3
@

\item[1)]
<<5-3-3-risposta1>>=
vY <- dataDF$Y
matR <- cbind(beta0=1,X1 = dataDF$X1,X2 = dataDF$X2)
matE <- matX <- cbind(beta0=1,X1 = dataDF$X1,X2 = dataDF$X2,X12=dataDF$X1 * dataDF$X2)
ridotto <- FLinearMod(vY,matR)
esteso <- FLinearMod(vY,matE)
prova(ridotto,esteso,displayridotto=F,displayesteso=T,displaytest=F,alpha=0.05)
@

\item[2)]
<<5-3-3-risposta2>>=
prova(ridotto,esteso,displayridotto=T,displayesteso=F,displaytest=T,alpha=0.05)
@

\item[3)]
\begin{figure}[h]
\centering
<<5-3-3-risposta2,fig=T>>=
par(mfrow=c(2,2))
qqnorm(esteso$residui)
qqline(esteso$residui,col=2)
plot(matX[,2],esteso$residui)
plot(matX[,3],esteso$residui)
plot(esteso$attesa,esteso$residui)
@
 \caption{\href{file:Figure/Capitolo5/Esercizio-5-3-3-risposta2.pdf}{Analisi grafica dei residui}}
 \label{fig:5-3-3-risposta2}
\end{figure}

La Figura~\begin{NoHyper}\ref{fig:5-3-3-risposta2}\end{NoHyper} analizza graficamente i residui. In particolare
segue l'evidenza di possibili violazioni delle assunzioni di normalità e di omogeneità della varianza.

\item[4)]
L'intercetta diventa la media della combinazione di livelli (cella) -1,-1.
\end{itemize}

\section*{Esercizio 5.3.4} \addcontentsline{toc}{section}{Esercizio 5.3.4}

\begin{itemize}
\item[1)]
Eseguire il seguente codice:

<<echo=T>>=
enne <- 10000
minimo <- 1
massimo <- 10
x <- runif(enne,minimo,massimo)
epsilon <- rnorm(enne)
dataDF  <- data.frame(x,epsilon)
@

\item[2)]

<<echo=T>>=
dataDF$Y <- 10 + 2*dataDF$x + dataDF$epsilon
@

\begin{figure}[h]
\centering
<<5-3-4-risposta2,fig=T>>=
plot(dataDF$x, dataDF$Y,pch=".")
@
 \caption{\href{file:Figure/Capitolo5/Esercizio-5-3-4-risposta2.pdf}{Diagramma di dispersione}}
 \label{fig:5-3-4-risposta2}
\end{figure}

La Figura~\begin{NoHyper}\ref{fig:5-3-4-risposta2}\end{NoHyper} mostra il diagramma di dispersione
di $Y$ su $x$.

\item[3)]
\begin{figure}[h]
\centering
<<5-3-4-risposta3,fig=T>>=
plot(dataDF$x, dataDF$Y,pch=".")
abline(9.989,2.002,col=2,lwd=2 )
@
 \caption{\href{file:Figure/Capitolo5/Esercizio-5-3-4-risposta3.pdf}{Diagramma di dispersione e retta dei minimi quadrati}}
 \label{fig:5-3-4-risposta3}
\end{figure}

La Figura~\begin{NoHyper}\ref{fig:5-3-4-risposta3}\end{NoHyper} mostra il diagramma di dispersione
e la retta dei minimi quadrati.

\item[4)]
\begin{figure}[h]
\centering
<<5-3-4-risposta4,fig=T>>=
esteso <- lm(dataDF$Y ~ dataDF$x,dataDF)
residui <- residuals(esteso)
attesa <- fitted(esteso)
par(mfrow=c(2,1))
plot(attesa,residui)
plot(dataDF$x,residui)
@
 \caption{\href{file:Figure/Capitolo5/Esercizio-5-3-4-risposta4.pdf}{Residui verso attesa e valori di $x$}}
 \label{fig:5-3-4-risposta4}
\end{figure}

La Figura~\begin{NoHyper}\ref{fig:5-3-4-risposta4}\end{NoHyper} mostra il diagramma dei residui verso l'attesa
di $Y$ e verso i valori di $X$.

\item[5)]
\begin{figure}[h]
\centering
<<5-3-4-risposta5,fig=T>>=
devSTD <- sqrt(sum(residui^2)/(10000 - 2)) 
hist(residui,prob=T,main="Istogramma dei residui",ylab="Densità")
lines(seq(-5,5,0.05),dnorm(seq(-5,5,0.05),0,devSTD),col=2,lwd=2)
@
 \caption{\href{file:Figure/Capitolo5/Esercizio-5-3-4-risposta5.pdf}{Istogramma dei residui ed approssimazione normale}}
 \label{fig:5-3-4-risposta5}
\end{figure}

La Figura~\begin{NoHyper}\ref{fig:5-3-4-risposta5}\end{NoHyper} mostra l'istogramma delle frequenze
relative dei residui e sovrappone una gaussiana che ha media nulla e varianza uguale al valore stimato
per $\sigma^{2}$.

\item[6)]
\begin{figure}[h]
\centering
<<5-3-4-risposta6,fig=T>>=
qqnorm(residui)
qqline(residui,col=2)
@
 \caption{\href{file:Figure/Capitolo5/Esercizio-5-3-4-risposta6.pdf}{Grafico Q-Q Plot dei residui}}
 \label{fig:5-3-4-risposta6}
\end{figure}

La Figura~\begin{NoHyper}\ref{fig:5-3-4-risposta6}\end{NoHyper} mostra il grafico quantile-quantile
dei residui.

\item[7)]
Lasciato per esercizio.
\end{itemize}

\section*{Esercizio 5.3.5} \addcontentsline{toc}{section}{Esercizio 5.3.5}

\begin{itemize}
<<>>=
data(esercizio.5.3.5)
dataDF <- esercizio.5.3.5
@

\item[1)]
<<5-3-5-risposta1>>=
vY <- cbind(esercizio.5.3.5$y)
matX <- cbind(beta0=1,x = esercizio.5.3.5$x)
esteso <- FLinearMod(vY,matX)
matrix(c(esteso$beta[1,1],esteso$beta[2,1]),nrow=2,dimnames=list(c("beta0","x"),character(1)))
@

\item[2)]
<<5-3-5-risposta2>>=
xfuturo <- cbind(1,114.5)
attesa <- xfuturo %*% esteso$beta
alpha <- 1-0.95
cat("E[Y | x = 114.5] = ",attesa[1,1],"\n")
elle1 <- attesa - qt(1-alpha/2,df=3)*sqrt(esteso$varianzaStimata)*sqrt( xfuturo %*% esteso$inversaXTX %*%t(xfuturo))
elle2 <- attesa + qt(1-alpha/2,df=3)*sqrt(esteso$varianzaStimata)*sqrt( xfuturo %*% esteso$inversaXTX %*%t(xfuturo))
cat("1-alpha: ",1-alpha,"\n")
cat("Intervallo di confidenza per la media condizionata: (",elle1,",",elle2,")\n")
@
\end{itemize}

\section*{Esercizio 5.3.6} \addcontentsline{toc}{section}{Esercizio 5.3.6}

\begin{itemize}
<<>>=
data(esercizio.5.3.6)
dataDF <- esercizio.5.3.6
@

\item[1)]
<<5-3-6-risposta1>>=
vY <- cbind(dataDF$titolo)
matX <- cbind(beta0=1,x = dataDF$tempera)
esteso <- FLinearMod(vY,matX)
alpha <- 1-0.9
estrattore <-2
elle1 <- esteso$beta[estrattore, ] - qt(1-alpha/2,df=7-2 )*sqrt(esteso$varianzaStimata*esteso$inversaXTX[estrattore,estrattore])
elle2 <- esteso$beta[estrattore, ] + qt(1-alpha/2,df=7-2 )*sqrt(esteso$varianzaStimata*esteso$inversaXTX[estrattore,estrattore])
cat("1-alpha: ",1-alpha,"\n")
cat("Intervallo di confidenza per beta1: (",elle1,",",elle2,")\n")
@

\item[2)]
<<5-3-6-risposta2>>=
xfuturo <- cbind(1,77)
attesa <- xfuturo %*% esteso$beta
cat("E[Y | x = 77] = ",attesa[1,1],"\n")
elle1 <- attesa - qt(1-alpha/2,df=5)*sqrt(esteso$varianzaStimata)*sqrt(xfuturo %*% esteso$inversaXTX %*%t(xfuturo))
elle2 <- attesa + qt(1-alpha/2,df=5)*sqrt(esteso$varianzaStimata)*sqrt(xfuturo %*% esteso$inversaXTX %*%t(xfuturo))
cat("1-alpha: ",1-alpha,"\n")
cat("Intervallo di confidenza per la media condizionata: (",elle1,",",elle2,")\n")
@

\item[3)]
<<5-3-6-risposta3>>=
cat("Varianza stimata: ",esteso$varianzaStimata,"\n")
@

\item[4)]
<<5-3-6-risposta4>>=
matR <- cbind(beta0=1,x = dataDF$tempera)
matE <- cbind(beta0=1,x = dataDF$tempera, x2= dataDF$tempera^2)
ridotto <- FLinearMod(vY,matR)
esteso <- FLinearMod(vY,matE)
prova(ridotto,esteso,displayridotto=T,displayesteso=T,displaytest=T,alpha=0.05)
@
\end{itemize}

\section*{Esercizio 5.3.7} \addcontentsline{toc}{section}{Esercizio 5.3.7}

\begin{itemize}
<<>>=
data(esercizio.5.3.7)
dataDF <- esercizio.5.3.7
@

\item[1)]
\begin{figure}[h]
\centering
<<5-3-7-risposta1,fig=T>>=
plot(dataDF$X,dataDF$Y,xlab="X",ylab="Y",main="Diagramma di dispersione")
@
 \caption{\href{file:Figure/Capitolo5/Esercizio-5-3-7-risposta1.pdf}{Diagramma di dispersione}}
 \label{fig:5-3-7-risposta1}
\end{figure}

La Figura~\begin{NoHyper}\ref{fig:5-3-7-risposta1}\end{NoHyper} rappresenta il diagramma di dispersione.

\item[2)]
<<5-3-7-risposta2>>=
cat("Y = beta0 + beta1 * x + epsilon\n")
@

\item[3)]
<<5-3-7-risposta3>>=
vY <- cbind(dataDF$Y)
matX <- cbind(beta0=1,x = dataDF$X)
ridotto <- FLinearMod(vY,matX)
matrix(c(ridotto$beta[1,1],ridotto$beta[2,1]),nrow=2,dimnames=list(c("beta0","x"),character(1)))
cat("Varianza stimata: ",ridotto$varianzaStimata,"\n")
@

\item[4)]
\begin{figure}[h]
\centering
<<5-3-7-risposta4,fig=T>>=
plot(dataDF$X,dataDF$Y,xlab="X",ylab="Y",main="Diagramma di dispersione")
abline(ridotto$beta[1,1],ridotto$beta[2,1],col=2,lwd=2)
@
 \caption{\href{file:Figure/Capitolo5/Esercizio-5-3-7-risposta4.pdf}{Attesa condizionata}}
 \label{fig:5-3-7-risposta4}
\end{figure}

La Figura~\begin{NoHyper}\ref{fig:5-3-7-risposta4}\end{NoHyper} vede sovrapposto al grafico nel punto (1) il valore dell'attesa
condizionata.

\item[5)]
Questa domanda chiede di effettuare un test di ipotesi per saggiare l'introduzione 
di un termine di secondo grado.

<<5-3-7-risposta5a>>=
vY <- cbind(dataDF$Y)
matR <- cbind(beta0=1,x = dataDF$X,x2 = dataDF$X^2)
matE <- cbind(beta0=1,x = dataDF$X,x2 = dataDF$X^2,x3 = dataDF$X^3)
ridotto <- FLinearMod(vY,matR)
esteso <- FLinearMod(vY,matE)
prova(ridotto,esteso,displayridotto=T,displayesteso=T,displaytest=T,alpha=0.05)
@

E uno di terzo?

<<5-3-7-risposta5b>>=
vY <- cbind(dataDF$Y)
matR <- cbind(beta0=1,x = dataDF$X)
matE <- cbind(beta0=1,x = dataDF$X,x2 = dataDF$X^2)
ridotto <- FLinearMod(vY,matR)
esteso <- FLinearMod(vY,matE)
prova(ridotto,esteso,displayridotto=T,displayesteso=T,displaytest=T,alpha=0.05)
@

\item[6)]
\begin{figure}[h]
\centering
<<5-3-7-risposta6,fig=T>>=
par(mfrow=c(2,2))
qqnorm(esteso$residui)
qqline(esteso$residui,col=2,lwd=2)
plot(esteso$X[,2],esteso$residui)
plot(esteso$X[,3],esteso$residui)
plot(esteso$attesa,esteso$residui)
@
 \caption{\href{file:Figure/Capitolo5/Esercizio-5-3-7-risposta6.pdf}{Analisi dei residui}}
 \label{fig:5-3-7-risposta6}
\end{figure}

La Figura~\begin{NoHyper}\ref{fig:5-3-7-risposta6}\end{NoHyper} rappresenta l'analisi dei residui per il modello finale.
\end{itemize}

\section*{Esercizio 5.3.8} \addcontentsline{toc}{section}{Esercizio 5.3.8}

\begin{itemize}
<<>>=
data(esercizio.5.3.8)
dataDF <- esercizio.5.3.8
@

\item[1)]

<<5-3-8-risposta1>>=
cat("aov(formula = Y ~ dose)\n")
vY <- dataDF$Y
matE <- model.matrix(lm(Y ~ dose,dataDF))
esteso <- FLinearMod(vY,matE)
matR <-  model.matrix(lm(Y ~ 1,dataDF))
ridotto <- FLinearMod(vY,matR)
prova(ridotto,esteso,displayridotto=F,displayesteso=F,displaytest=T,alpha=0.05)
@

\item[2)]
Si rifiuta decisamente l'ipotesi nulla di uguaglianza tra
medie di popolazione con ampiezza $\alpha = 0.05$. La conclusione per
per $\alpha = 0.01$ sarebbe stata la stessa:

<<5-3-8-risposta2>>=
prova(ridotto,esteso,displayridotto=F,displayesteso=F,displaytest=T,alpha=0.01)
@

\item[3)]
Test di ipotesi per il primo contrasto:

<<5-3-8-risposta3a>>=
matX <-  model.matrix(lm(Y ~ dose,dataDF))
esteso <- FLinearMod(vY,matX)
QME <- esteso$varianzaStimata
matX <-  cbind(rep(1,9),c(0,0,0,1,1,1,1,1,1))
ridotto <- FLinearMod(vY,matX)
prova(ridotto,esteso,displayridotto=F,displayesteso=F,displaytest=T,alpha=0.05)
@

Test di ipotesi per il secondo contrasto:

<<5-3-8-risposta3b>>=
vY <- ridotto$Y
matX <- cbind(rep(1,9))
ridottissimo <- FLinearMod(vY,matX)
prova(ridottissimo,ridotto,displayridotto=F,displayesteso=F,displaytest=T,alpha=0.05)
@

\item[4)]

<<5-3-8-risposta4>>=
X <- as.numeric(dataDF$dose)-1
matX <- model.matrix(lm(Y ~ X,data=dataDF))
colnames(matX)<-c("beta0","X")
regSem <- FLinearMod(vY,matX)
matrix(regSem$beta[,1],nrow=length(regSem$beta),dimnames=list(colnames(matX),character(1)))
@

\item[5)]
\begin{figure}[h]
\centering
<<5-3-8-risposta5,fig=T>>=
plot(matX[,2],vY)
abline(regSem$beta[1,1],regSem$beta[2,1],col=2,lwd=2)
@
 \caption{\href{file:Figure/Capitolo5/Esercizio-5-3-8-risposta5.pdf}{Valori osservati e retta dei minimi quadrati}}
 \label{fig:5-3-8-risposta5}
\end{figure}

La Figura~\begin{NoHyper}\ref{fig:5-3-8-risposta5}\end{NoHyper} mostra
diagrammati i valori osservati e la retta dei minimi quadrati.
\end{itemize}

\section*{Esercizio 5.3.9} \addcontentsline{toc}{section}{Esercizio 5.3.9}

\begin{itemize}
<<>>=
data(esercizio.5.3.9)
dataDF <- esercizio.5.3.9
@

\item[1)]

Sintesi descrittive di \verb+X+:

<<5-3-9-risposta1a>>=
options(digits=7)
summary(dataDF$X)
cat("Varianza stimata: ",var(dataDF$X),"\n")
@

Sintesi descrittive di \verb+X+ condizionatamente a \verb+tempo = 1+:

<<5-3-9-risposta1b>>=
summary(dataDF$X[dataDF$tempo=="1"])
cat("Varianza stimata: ",var(dataDF$X[dataDF$tempo=="1"]),"\n")
@

Sintesi descrittive di \verb+X+ condizionatamente a \verb+tempo = 2+:

<<5-3-9-risposta1c>>=
summary(dataDF$X[dataDF$tempo=="2"])
cat("Varianza stimata: ",var(dataDF$X[dataDF$tempo=="2"]),"\n")
@

Sintesi descrittive di \verb+X+ condizionatamente a \verb+tempo = 3+:

<<5-3-9-risposta1d>>=
summary(dataDF$X[dataDF$tempo=="3"])
cat("Varianza stimata: ",var(dataDF$X[dataDF$tempo=="3"]),"\n")
options(digits=5)
@

\item[2)]
\begin{figure}[h]
\centering
<<5-3-9-risposta2,fig=T>>=
par(mfrow=c(1,3))
qqnorm(dataDF$X[dataDF$tempo=="1"])
qqline(dataDF$X[dataDF$tempo=="1"])
qqnorm(dataDF$X[dataDF$tempo=="2"])
qqline(dataDF$X[dataDF$tempo=="2"])
qqnorm(dataDF$X[dataDF$tempo=="3"])
qqline(dataDF$X[dataDF$tempo=="3"])
@
 \caption{\href{file:Figure/Capitolo5/Esercizio-5-3-9-risposta2.pdf}{Normalità di $X$}}
 \label{fig:5-3-9-risposta2}
\end{figure}

La Figura~\begin{NoHyper}\ref{fig:5-3-9-risposta2}\end{NoHyper} permette
di studiare graficamente la normalità delle distribuzioni condizionate al tempo.

\item[3)]
\begin{figure}[h]
\centering
<<5-3-9-risposta3a,fig=T>>=
par(mfrow=c(1,3))
dataDF$Y <- sqrt(dataDF$X)
qqnorm(dataDF$Y[dataDF$tempo=="1"])
qqline(dataDF$Y[dataDF$tempo=="1"])
qqnorm(dataDF$Y[dataDF$tempo=="2"])
qqline(dataDF$Y[dataDF$tempo=="2"])
qqnorm(dataDF$Y[dataDF$tempo=="3"])
qqline(dataDF$Y[dataDF$tempo=="3"])
@
 \caption{\href{file:Figure/Capitolo5/Esercizio-5-3-9-risposta3a.pdf}{Normalità della trasformata $Y = \sqrt{X}$}}
 \label{fig:5-3-9-risposta3a}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
\centering
<<5-3-9-risposta3b,fig=T>>=
par(mfrow=c(1,3))
dataDF$Z <- log(dataDF$X)
qqnorm(dataDF$Z[dataDF$tempo=="1"])
qqline(dataDF$Z[dataDF$tempo=="1"])
qqnorm(dataDF$Z[dataDF$tempo=="2"])
qqline(dataDF$Z[dataDF$tempo=="2"])
qqnorm(dataDF$Z[dataDF$tempo=="3"])
qqline(dataDF$Z[dataDF$tempo=="3"])
@
 \caption{\href{file:Figure/Capitolo5/Esercizio-5-3-9-risposta3b.pdf}{Normalità della trasformata $Z = \log\left({X}\right)$}}
 \label{fig:5-3-9-risposta3b}
\end{figure}

La Figura~\begin{NoHyper}\ref{fig:5-3-9-risposta3a}\end{NoHyper}
studia la normalità (condizionata alla variabile \verb+tempo+) della trasformata $Y = \sqrt{X}$ mentre la Figura~\begin{NoHyper}\ref{fig:5-3-9-risposta3b}\end{NoHyper}
si occupa della trasformata $Z = \log\left({X}\right)$.

\item[4)]
Test per effetto del tempo di prelievo sulla scala di $Z = \log{\left(X\right)}$.

<<5-3-9-risposta4>>=
vY <- dataDF$Z
matE <- model.matrix(lm(Z ~ factor(tempo),dataDF))
matR <- matE[,-c(2,3)]
ridotto <- FLinearMod(vY,matR)
esteso <- FLinearMod(vY,matE)
prova(ridotto,esteso,displayridotto=F,displayesteso=F,displaytest=T,alpha=0.01)
@
\end{itemize}

\section*{Esercizio 5.3.10} \addcontentsline{toc}{section}{Esercizio 5.3.10}

\begin{itemize}
<<>>=
data(esercizio.5.3.10)
dataDF <- esercizio.5.3.10
@

\item[1)]

<<5-3-10-risposta1>>=
vY <- dataDF$tempera
matR <- cbind(beta0 = 1, secondi =dataDF$secondi)
ridotto <- FLinearMod(vY,matR)
matrix(ridotto$beta[,1],nrow=length(ridotto$beta),dimnames=list(colnames(matR),character(1)))
@

\item[2)]
\begin{figure}[h]
\centering
<<5-3-10-risposta2,fig=T>>=
par(mfrow=c(2,2))
qqnorm(ridotto$residui)
qqline(ridotto$residui,col=2,lwd=2)
plot(ridotto$X[,2],ridotto$residui)
abline(0,0,col=3,lwd=2)
plot(ridotto$attesa,ridotto$residui)
abline(0,0,col=3,lwd=2)
@
 \caption{\href{file:Figure/Capitolo5/Esercizio-5-3-10-risposta2.pdf}{Analisi dei residui}}
 \label{fig:5-3-10-risposta2}
\end{figure}

La Figura~\begin{NoHyper}\ref{fig:5-3-10-risposta2}\end{NoHyper} rappresenta
graficamente l'analisi dei residui.

\item[3)]

<<5-3-10-risposta3>>=
dataDF$secondi2 <- dataDF$secondi**2
matE <- cbind(beta0=1, secondi=dataDF$secondi, secondi2=dataDF$secondi2)
esteso <- FLinearMod(vY,matE)
prova(ridotto,esteso,displayridotto=T,displayesteso=T,displaytest=T,alpha=0.01)
@

\item[4)]

<<5-3-10-risposta4>>=
vY <- dataDF$tempera
matE <- model.matrix(lm(tempera ~ factor(dispensatore),dataDF))
names(matE)<-c("beta0","dispensatore2","dispensatore3","dispensatore4")
matR <- matE[,1]
ridotto <- FLinearMod(vY,matR)
esteso <- FLinearMod(vY,matE)
prova(ridotto,esteso,displayridotto=F,displayesteso=F,displaytest=T,alpha=0.05)
@

\item[5)]

<<5-3-10-risposta5>>=
matE <- cbind(beta0=1, secondi=dataDF$secondi, secondi2=dataDF$secondi2)
esteso <- FLinearMod(vY,matE)
attesa <- cbind(1,250,250^2) %*% esteso$beta
cat("E[tempera | secondi = 250, secondi2 = 250^2] = ",attesa,"\n")
@

\item[6)]

<<5-3-10-risposta6>>=
xfuturo <- cbind(1, 17.7,17.7^2)
attesa <- cbind(1,17.7,17.7^2) %*% esteso$beta
alpha <- 1-0.95
cat("1-alpha: ",1-alpha,"\n")
elle1 <- attesa - qt(1-alpha/2,df=length(vY)-length(esteso$beta))*sqrt(esteso$varianzaStimata)*sqrt(1 + xfuturo %*% esteso$inversaXTX %*%t(xfuturo))
elle2 <- attesa + qt(1-alpha/2,df=length(vY)-length(esteso$beta))*sqrt(esteso$varianzaStimata)*sqrt(1 + xfuturo %*% esteso$inversaXTX %*%t(xfuturo))
cat("Intervallo di previsione per la media condizionata: (",elle1,",",elle2,")\n")
@
\end{itemize}

\section*{Esercizio 5.3.11} \addcontentsline{toc}{section}{Esercizio 5.3.11}

\begin{itemize}
<<>>=
data(esercizio.5.3.11)
dataDF <-  esercizio.5.3.11
@

\item[1)]

<<5-3-11-risposta1>>=
summary(dataDF)
@

\item[2)]

<<5-3-11-risposta2>>=
vY <- dataDF$polifenoli
matX <- cbind(beta0 = 1, X =dataDF$flavo)
esteso <- FLinearMod(vY,matX)
matrix(esteso$beta[,1],nrow=length(esteso$beta),dimnames=list(colnames(matX),character(1)))
@

\item[3)]
\begin{figure}[h]
\centering
<<5-3-11-risposta3,fig=T>>=
plot(dataDF$flavo,dataDF$polifenoli)
abline(esteso$beta,col=2,lwd=2)
@
 \caption{\href{file:Figure/Capitolo5/Esercizio-5-3-11-risposta3.pdf}{Diagramma di dispersione e retta dei minimi quadrati}}
 \label{fig:5-3-11-risposta3}
\end{figure}

La Figura~\begin{NoHyper}\ref{fig:5-3-11-risposta3}\end{NoHyper}
rappresenta il diagramma di dispersione e la retta dei minimi quadrati.

\item[4)]

Distanza di \emph{Cook} per ogni unità campionaria:

<<5-3-11-risposta4a>>=
cooks.distance(lm(polifenoli~flavo,data=dataDF))
@

\begin{figure}[h]
\centering
<<5-3-11-risposta4b,fig=T>>=
plot(cooks.distance(lm(polifenoli~flavo,data=dataDF)),type="b",ylab="Distanza di Cook")
@
 \caption{\href{file:Figure/Capitolo5/Esercizio-5-3-11-risposta4b.pdf}{Distanza di \emph{Cook}}}
 \label{fig:5-3-11-risposta4b}
\end{figure}

La Figura~\begin{NoHyper}\ref{fig:5-3-11-risposta4b}\end{NoHyper}
rappresenta il grafico della distanza di \emph{Cook}.

\item[5)]
\begin{figure}[h]
\centering
<<5-3-11-risposta5,fig=T>>=
par(mfrow=c(2,2))
qqnorm(esteso$residui)
qqline(esteso$residui,col=2,lwd=2)
plot(esteso$X[,2],esteso$residui)
abline(0,0,col=3,lwd=2)
plot(esteso$attesa,esteso$residui)
abline(0,0,col=3,lwd=2)
@
 \caption{\href{file:Figure/Capitolo5/Esercizio-5-3-11-risposta5.pdf}{Analisi dei residui}}
 \label{fig:5-3-11-risposta5}
\end{figure}

La Figura~\begin{NoHyper}\ref{fig:5-3-11-risposta5}\end{NoHyper} mostra
l'analisi dei residui.
\end{itemize}

\section*{Esercizio 5.3.12} \addcontentsline{toc}{section}{Esercizio 5.3.12}

\begin{itemize}
\item[1)]
Da svolgere.

\item[2)]
Da svolgere.

\item[3)]
Da svolgere.
\end{itemize}

\section*{Esercizio 5.3.13} \addcontentsline{toc}{section}{Esercizio 5.3.13}

\begin{itemize}
<<>>=
data(esercizio.4.4.13)
dataDF <- esercizio.4.4.13
@

\item[1)]

<<5-3-13-risposta1>>=
cat("Parametrizzazione a trattamento (corner):\n")
matXt <- model.matrix(~A*S,dataDF,contrasts=list(A="contr.treatment",S="contr.treatment"))
matXt
matXs <- model.matrix(~A*S,dataDF,contrasts=list(A="contr.sum",S="contr.sum"))
cat("Parametrizzazione a media a somma nulla:\n")
matXs
cat("Parametrizzazione a media di cella:\n")
matXm <- model.matrix(~-1+code,dataDF,contrasts=list(code="contr.treatment"))
matXm
@

\item[2)]

<<5-3-13-risposta2>>=
vY <- dataDF$Y
matE <- matXt
esteso <- FLinearMod(vY,matE)
matR <- matE[,-c(5,6)]
ridotto <- FLinearMod(vY,matR)
prova(ridotto,esteso,displayridotto=T,displayesteso=T,displaytest=T,alpha=0.01)
@

\item[3)]

<<5-3-13-risposta3>>=
xfuturo <- cbind(1, 1,0,0)
attesa <- xfuturo %*% ridotto$beta
cat("Attesa: ",attesa,"\n")
alpha <- 1-0.95
cat("1-alpha: ",1-alpha,"\n")
elle1 <- attesa - qt(1-alpha/2,df=14)*sqrt(ridotto$varianzaStimata)*sqrt(xfuturo %*% ridotto$inversaXTX %*%t(xfuturo))
elle2 <- attesa + qt(1-alpha/2,df=14)*sqrt(ridotto$varianzaStimata)*sqrt(xfuturo %*% ridotto$inversaXTX %*%t(xfuturo))
cat("Intervallo di previsione per la media condizionata: (",elle1,",",elle2,")\n")
@
\end{itemize}

\section*{Esercizio 5.3.14} \addcontentsline{toc}{section}{Esercizio 5.3.14}

\begin{itemize}
<<>>=
data(esercizio.5.3.14)
dataDF <- esercizio.5.3.14
@

\item[1)]
Sintesi descrittive di \verb+caloria+:

<<5-3-14-risposta1>>=
summary(esercizio.5.3.14$caloria)
cat("Varianza stimata: ",var(esercizio.5.3.14$caloria),"\n")
@

\item[2)]
La variabile \verb+fibra+ trasformata nel fattore \verb+fibraQ+:

<<5-3-14-risposta2>>=
dataDF$fibraQ <- cut(dataDF$fibra,breaks=23:27,include.lowest=T)
table(dataDF$fibraQ)
@

\item[3)]
\begin{figure}[h]
\centering
<<5-3-14-risposta3,fig=T>>=
boxplot(dataDF$caloria~dataDF$fibraQ,ylab="caloria",xlab="Classe-fibra")
@
 \caption{\href{file:Figure/Capitolo5/Esercizio-5-3-14-risposta3.pdf}{Boxplot di {\tt caloria} condizionata a {\tt fibraQ}}}
 \label{fig:5-3-14-risposta3}
\end{figure}

La Figura~\begin{NoHyper}\ref{fig:5-3-14-risposta3}\end{NoHyper} rappresenta il Boxplot
di \verb+caloria+ condizionata a \verb+fibraQ+.

\item[4)]
Si osservono forti differenze nelle distribuzioni condizionate.

\item[5)]

<<5-3-14-risposta5>>=
cat("lm(caloria~(fibra+grass+carboidrat)^3)\n")
@

\item[6)]

<<5-3-14-risposta6>>=
esteso <- lm(caloria~(fibra+grass+carboidrat)^3,data=dataDF)
modStep <- step(esteso,direction="backward",trace=0)
summary(modStep)
@

\item[7)]
\begin{figure}[h]
\centering
<<5-3-14-risposta7,fig=T>>=
residui <- residuals(modStep)
attesa <- fitted(modStep)
par(mfrow=c(3,2))
qqnorm(residui)
qqline(residui,col=2,lwd=2)
plot(dataDF$fibra,residui)
abline(0,0,col=3,lwd=2)
plot(dataDF$carboidrat,residui)
abline(0,0,col=3,lwd=2)
plot(dataDF$grass,residui)
abline(0,0,col=3,lwd=2)
plot(attesa,residui)
abline(0,0,col=3,lwd=2)
@
 \caption{\href{file:Figure/Capitolo5/Esercizio-5-3-14-risposta7.pdf}{Analisi dei residui}}
 \label{fig:5-3-14-risposta7}
\end{figure}

La Figura~\begin{NoHyper}\ref{fig:5-3-14-risposta7}\end{NoHyper}
mostra graficamente l'analisi dei residui.

\item[8)]

<<5-3-14-risposta8>>=
attesa <- predict(modStep,data.frame(fibra=26.5,grass=89.5,carboidrat=120),interval="prediction",level=1-alpha)[[1]]
cat("E[caloria | fibra = 26.5, grass = 89.5, carboidrat = 120] = ",attesa,"\n")
alpha <- 1-0.98
cat("1-alpha: ",1-alpha,"\n")
elle1 <- predict(modStep,data.frame(fibra=26.5,grass=89.5,carboidrat=120),interval="prediction",level=1-alpha)[[2]]
elle2 <- predict(modStep,data.frame(fibra=26.5,grass=89.5,carboidrat=120),interval="prediction",level=1-alpha)[[3]]
cat("Intervallo di previsione per la media condizionata: (",elle1,",",elle2,")\n")
@
\end{itemize}

\section*{Esercizio 5.3.15} \addcontentsline{toc}{section}{Esercizio 5.3.15}

\begin{itemize}
<<>>=
data(esercizio.5.3.15)
dataDF <- esercizio.5.3.15
@

\item[1)]
\begin{figure}[h]
\centering
<<5-3-15-risposta1,fig=T>>=
plot(dataDF$X,dataDF$Y) 
points(dataDF$X,dataDF$Y,col=as.numeric(dataDF$Z)+2)
points(dataDF$X,dataDF$Y,pch=".")
@
 \caption{\href{file:Figure/Capitolo5/Esercizio-5-3-15-risposta1.pdf}{Diagramma di dispersione delle variabili quantitative}}
 \label{fig:5-3-15-risposta1}
\end{figure}

La Figura~\begin{NoHyper}\ref{fig:5-3-15-risposta1}\end{NoHyper} rappresenta il
diagramma di dispersione delle variabili quantitative con punti colorati
in dipendenza del valore assunto dalla $Z$.

\item[2)]

<<5-3-15-risposta2>>=
vY <- dataDF$Y
matX <- cbind(beta0 = 1, X =dataDF$X)
ridotto <- FLinearMod(vY,matX)
matrix(ridotto$beta,ncol=1,dimnames=list(rownames(ridotto$beta),character(1)))
xfuturo <- cbind(1, 38.5)
attesa <- xfuturo %*% ridotto$beta
cat("E[Y | x = 38.5] = ",attesa[1,1],"\n")
alpha <- 1-0.95
cat("1-alpha: ",1-alpha,"\n")
elle1 <- attesa - qt(1-alpha/2,df=length(vY)-length(ridotto$beta))*sqrt(ridotto$varianzaStimata)*sqrt(xfuturo %*% ridotto$inversaXTX %*%t(xfuturo))
elle2 <- attesa + qt(1-alpha/2,df=length(vY)-length(ridotto$beta))*sqrt(ridotto$varianzaStimata)*sqrt(xfuturo %*% ridotto$inversaXTX %*%t(xfuturo))
cat("Intervallo di previsione per la media condizionata: (",elle1,",",elle2,")\n")
@

\item[3)]
\begin{figure}[h]
\centering
<<5-3-15-risposta3,fig=T>>=
plot(dataDF$X,dataDF$Y) 
abline(ridotto$beta[1,1],ridotto$beta[2,1],col=4,lwd=2)
@
 \caption{\href{file:Figure/Capitolo5/Esercizio-5-3-15-risposta3.pdf}{Diagramma di dispersione e retta dei minimi quadrati}}
 \label{fig:5-3-15-risposta3}
\end{figure}

La Figura~\begin{NoHyper}\ref{fig:5-3-15-risposta3}\end{NoHyper} mostra
il diagramma di dispersione originale e la retta dei minimi quadrati ottenuta al punto precedente.

\item[4)]

<<5-3-15-risposta4>>=
cat("Modello con interazione:\n")
vY <- dataDF$Y
matX <- cbind(beta0=1,X=dataDF$X,Z=dataDF$Z,XZ=dataDF$X*dataDF$Z)
esteso <- FLinearMod(vY,matX)
matrix(esteso$beta,ncol=1,dimnames=list(rownames(esteso$beta),character(1)))
cat("Modello comune:\n")
vY <- dataDF$Y
matrix(ridotto$beta,ncol=1,dimnames=list(rownames(ridotto$beta),character(1)))
cat("Regressione specifica gruppo Z = 0:\n")
m0 <- lm(dataDF$Y[dataDF$Z=="0"]~dataDF$X[dataDF$Z=="0"])
coefficientiZ0 <- as.vector(coef(m0))
names(coefficientiZ0)<-c("beta0","X")
matrix(coefficientiZ0,ncol=1,dimnames=list(names(coefficientiZ0),character(1)))
cat("Regressione specifica gruppo Z = 1:\n")
m1 <- lm(dataDF$Y[dataDF$Z=="1"]~dataDF$X[dataDF$Z=="1"])
coefficientiZ1 <- as.vector(coef(m1))
names(coefficientiZ1)<-c("beta0","X")
matrix(coefficientiZ1,ncol=1,dimnames=list(names(coefficientiZ1),character(1)))
@

\item[5)]
\begin{figure}[h]
\centering
<<5-3-15-risposta5,fig=T>>=
plot(dataDF$X,dataDF$Y) 
points(dataDF$X,dataDF$Y,col=as.numeric(dataDF$Z)+2)
points(dataDF$X,dataDF$Y,pch=".")
abline(coef(m0),col=4,lwd=2)
abline(coef(m1),col=4,lwd=2)
@
 \caption{\href{file:Figure/Capitolo5/Esercizio-5-3-15-risposta5.pdf}{Diagramma di dispersione e rette di regressione}}
 \label{fig:5-3-15-risposta5}
\end{figure}

La Figura~\begin{NoHyper}\ref{fig:5-3-15-risposta5}\end{NoHyper} rappresenta il
diagramma di dispersione delle variabili quantitative con punti colorati
in dipendenza del valore assunto dalla $Z$ e sovraimposte le due rette di
regressione ottenute al punto precedente.

\item[6)]

<<5-3-15-risposta6>>=
vY <- dataDF$Y
matX <- cbind(beta0 = 1, X =dataDF$X,Z =dataDF$Z)
ridotto <- FLinearMod(vY,matX)
matX <- cbind(beta0=1,X=dataDF$X,Z=dataDF$Z,XZ=dataDF$X*dataDF$Z)
esteso <- FLinearMod(vY,matX)
prova(ridotto,esteso,displayridotto=T,displayesteso=T,displaytest=T,alpha=0.05)
@

\item[7)]

<<5-3-15-risposta7>>=
cat("lm(formula = Y ~ X + Z + X : Z)\n")
@

\item[8)]
\begin{figure}[h]
\centering
<<5-3-15-risposta8,fig=T>>=
par(mfrow=c(2,2))
residui <- esteso$residui
qqnorm(residui)
qqline(residui,col=2,lwd=2)
plot(dataDF$X,residui)
abline(0,0,col=3,lwd=2)
plot(dataDF$Z,residui)
abline(0,0,col=3,lwd=2)
plot(esteso$attesa,residui)
abline(0,0,col=3,lwd=2)
@
 \caption{\href{file:Figure/Capitolo5/Esercizio-5-3-15-risposta8.pdf}{Analisi dei residui}}
 \label{fig:5-3-15-risposta8}
\end{figure}

La Figura~\begin{NoHyper}\ref{fig:5-3-15-risposta8}\end{NoHyper} mostra
graficamente l'analisi dei residui del modello selezionato.
\end{itemize}

\section*{Esercizio 5.3.16} \addcontentsline{toc}{section}{Esercizio 5.3.16}

\begin{itemize}
<<>>=
data(esercizio.5.3.16)
dataDF <- esercizio.5.3.16
@

\item[1)]

<<5-3-16-risposta1>>=
esteso <- lm(pH~conservante*correttore*esaltatore-conservante:correttore:esaltatore,data=dataDF)
matrix(coefficients(esteso),ncol=1,dimnames=list(names(coefficients(esteso)),character(1)))
@

\item[2)]
Posto $\alpha = 0.1$, termina con il modello che ha intercetta, \verb+conservante+ e
\verb+esaltatore+:

<<5-3-16-risposta2>>=
aggiornato <- update(esteso,.~. -correttore:esaltatore
                                -conservante:correttore
                                -conservante:esaltatore
                                -correttore)
cat("lm(formula = Ph ~ conservante + esaltatore)\n")
@

\item[3)]
Caricare il \emph{package} \verb+car+ attraverso il comando \verb+library(package="car")+ .

<<5-3-16-risposta3>>=
Anova(aggiornato,,type="III")
@

\item[4)]
\begin{figure}[h]
\centering
<<5-3-16-risposta4,fig=T>>=
par(mfrow=c(2,2))
residui <- aggiornato$residuals
attesa <- fitted(esteso)
qqnorm(residui)
qqline(residui,col=2,lwd=2)
plot(dataDF$conservante,residui)
abline(0,0,col=3,lwd=2)
title("Conservante")
plot(dataDF$esaltatore,residui)
abline(0,0,col=3,lwd=2)
title("Esaltatore") 
plot(attesa,residui)
abline(0,0,col=3,lwd=2)
@
 \caption{\href{file:Figure/Capitolo5/Esercizio-5-3-16-risposta4.pdf}{Analisi dei residui}}
 \label{fig:5-3-16-risposta4}
\end{figure}

La Figura~\begin{NoHyper}\ref{fig:5-3-16-risposta4}\end{NoHyper} mostra
graficamente l'analisi dei residui del modello finale.
\end{itemize}


\end{document}
