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]{hyperref}              % For creating hyperlinks in cross references

\hypersetup{ %
pdfauthor={F. Frascati & F. M. Stefanini}, %
pdftitle={INTRODUZIONE ALLA STATISTICA APPLICATA con esempi in R - Soluzioni degli esercizi di ricapitolazione Capitolo 3}, %
pdfsubject={Inferenza} %
} %

%\VignetteIndexEntry{Soluzioni degli esercizi di ricapitolazione Capitolo 3}
%\VignettePackage{ISA}
%\VignetteDepends{ISA,stats,utils,tools}
%\VignetteKeyword{univar,distribution,htest}

\title{\textbf{\LARGE INTRODUZIONE ALLA STATISTICA APPLICATA con esempi in R}\\[0.3cm] %
\makebox[\textwidth]{\large \url{http://hpe.pearsoned.it/stefanini}}\\[1cm]
\centerline{\includegraphics[height=4.26cm,width=3cm]{./Ico/Index}}
\vspace{1cm} %
\large \bf Soluzioni degli esercizi di ricapitolazione Capitolo 3:\\ \lq\lq Inferenza\rq\rq\\[2pt] %
%Facoltà di Economia\\[2pt] %
%Università degli Studi di Firenze\\[2pt] %
%A.A 2006-2007\\[2pt] %
}
\author{F.~Frascati \and F.~M.~Stefanini} %

\date{\today\\[20pt] \includegraphics[height=2.117cm,width=2.787cm]{./Ico/show}} %

\linespread{1.3}

\begin{document}

\SweaveOpts{prefix.string=figure/Capitolo3/Esercizio,eps=F,echo=F} %
\setkeys{Gin}{width=0.75\textwidth} %

\maketitle

<<results=hide>>=
library(ISA)
@
 
\section*{Esercizio 3.4.1} \addcontentsline{toc}{section}{Esercizio 3.4.1}

\begin{itemize}
\item[1)]
<<3-4-1-risposta1>>=
X <- list(val=1:3,prob=c(0.5,0.25,0.25))
cat("X: ",X$val,"\n")
@

\item[2)]
<<3-4-1-risposta2>>=
matrix(c(X$val,X$prob),nrow=3,dimnames=list(character(3),c("X","P(X=x)")))
@

\item[3)]
<<3-4-1-risposta3>>=
prob <- c(0.5,0.25,0.25)
distrdoppia <- outer(prob,prob,"*")
dimnames(distrdoppia) <- list(c("Y1=1","Y1=2","Y1=3"),c("Y2=1","Y2=2","Y2=3"))
distrdoppia
@

\item[4)]
<<3-4-1-risposta4>>=
X <- list(val=2:6,prob=c(0.25,0.125+0.125,0.125+0.0625+0.125,0.0625+0.0625,0.0625))
matrix(c(X$val,X$prob),nrow=5,dimnames=list(character(5),c("X","P(X=x)")))
@
\end{itemize}

\section*{Esercizio 3.4.2} \addcontentsline{toc}{section}{Esercizio 3.4.2}

\begin{itemize}
\item[1)]
<<3-4-2-risposta1>>=
Y <- list(val=2*1:6,prob=c(0.5*0.5,0.5*0.5,0.5*0.5*0.5*0.5,3*0.5*0.5*0.5*0.5,3*0.5*0.5*0.5*0.5,0.5*0.5*0.5*0.5))
matrix(c(Y$val,Y$prob),nrow=6,dimnames=list(character(6),c("Y","P(Y=y)")))
@

\item[2)]
<<3-4-2-risposta2>>=
Z <- list(val=2*1:2,prob=c(0.5*0.5+0.5*0.5*0.5*0.5,1-(0.5*0.5+0.5*0.5*0.5*0.5)))
matrix(c(Z$val,Z$prob),nrow=2,dimnames=list(character(2),c("Z","P(Z=z)")))
@
\end{itemize}

\section*{Esercizio 3.4.3} \addcontentsline{toc}{section}{Esercizio 3.4.3}

\begin{itemize}
\item[1)]
<<3-4-3-risposta1>>=
miamatrice <- as.matrix(cbind(expand.grid(X1=c(1,3),X2=c(1,3),X3=c(1,3)),rep(1,8)/8))
dimnames(miamatrice)<-list(character(8),c("X1","X2","X3","P(X1=x1,X2=x2,X3=x3)"))
miamatrice
@

\item[2)]
<<3-4-3-risposta2>>=
Y <- list(val=c(3,5,7,9),prob=c(0.5*0.5*0.5,3*0.5*0.5*0.5,3*0.5*0.5*0.5,0.5*0.5*0.5))
matrix(c(Y$val,Y$prob),nrow=4,dimnames=list(character(4),c("Y","P(Y=y)")))
@
\end{itemize}

<<results=hide>>=
repliche <- 10000
enne <- 5
minimo <- 98
massimo <- 112
matrice <- matrix(data=runif(n=repliche*enne,min=minimo,max=massimo),nrow=repliche,ncol=enne)
res <- apply(matrice,MARGIN=1,FUN=IQR)
@

\section*{Esercizio 3.4.4} \addcontentsline{toc}{section}{Esercizio 3.4.4}

Attenzione: simulazione con dati non prefissati! Ogni run è diverso dai precedenti.

\begin{itemize}
\item[1)]
<<3-4-4-risposta1>>=
cat("matrice <- matrix(data=runif(n=10000*5,min=98,max=112),nrow=10000,ncol=5)\n")
cat("matrice\n")
@

\item[2)]

Riassunto descrittivo:

<<3-4-4-risposta2a>>=
cat("res <- apply(matrice,MARGIN=1,FUN=IQR)\n")
cat("fiveNumbersSummary(res)\n")
@

\begin{figure}[h]
\centering
<<3-4-4-risposta2b,fig=TRUE>>=
hist(res,prob=T,main="Istogramma distribuzione campionaria IQR",ylab="frequenza relativa",xlab="IQR")
@
 \caption{\href{file:Figure/Capitolo3/Esercizio-3-4-4-risposta2b.pdf}{Istogramma campionario}}
 \label{fig:3-4-4-risposta2b}
\end{figure}

La Figura~\begin{NoHyper}\ref{fig:3-4-4-risposta2b}\end{NoHyper} rappresenta l'istogramma di frequenze relative
per la statistica campionaria differenza interquartile \verb+IQR()+.

\item[3)]
<<3-4-4-risposta3>>=
cat("Modello di popolazione: 1-punif(q=110,min=98,max=112)\n")
cat("Stima: sum(as.vector(matrice)>110)/(10000*5)\n")
@
\end{itemize}

\section*{Esercizio 3.4.5} \addcontentsline{toc}{section}{Esercizio 3.4.5}

\begin{itemize}
\item[1)]
<<3-4-5-risposta1>>=
alpha <- 0.1
enne <- 19
S2n <- 0.0031
l1 <- enne*S2n/qchisq(1-alpha/2,df=enne)
l2 <- enne*S2n/qchisq(alpha/2,df=enne)
cat("Intervallo di confidenza: (",l1,",",l2,")\n")
@

\item[2)]
<<3-4-5-risposta2>>=
cat("Incertezza: ",l2-l1,"\n")
@
\end{itemize}

\section*{Esercizio 3.4.6} \addcontentsline{toc}{section}{Esercizio 3.4.6}

\begin{itemize}
\item[1)]
<<3-4-6-risposta1>>=
n1 <- 31
n2 <- 48
media1 <- 37.57
media2 <- 37.71
var1 <- var2 <- 0.16
alpha <- 0.12
zcrit <- qnorm(1-alpha/2)
l1 <- media1-media2 - zcrit*sqrt(var1/n1+var2/n2)
l2 <- media1-media2 + zcrit*sqrt(var1/n1+var2/n2)
cat("Intervallo di confidenza: (",l1,",",l2,")\n")
@

\item[2)]
<<3-4-6-risposta2>>=
cat("Incertezza: ",l2-l1,"\n")
@
\end{itemize}

\section*{Esercizio 3.4.7} \addcontentsline{toc}{section}{Esercizio 3.4.7}

\begin{itemize}
\item[1)]
<<3-4-7-risposta1>>=
nsucc <- 71
enne <- 213
phat <- nsucc/enne
cat("phat: ",phat,"\n")
@

\item[2)]
<<3-4-7-risposta2>>=
alpha <- 0.01
zcrit <- qnorm(1-alpha/2)
l1 <- phat-zcrit*sqrt(phat*(1-phat)/enne)
l2 <- phat+zcrit*sqrt(phat*(1-phat)/enne)
cat("Intervallo di confidenza: (",l1,",",l2,")\n")
@
\end{itemize}

\section*{Esercizio 3.4.8} \addcontentsline{toc}{section}{Esercizio 3.4.8}

\begin{itemize}
\item[1)]
<<3-4-8-risposta1>>=
enne <- 28
noncommestibili <- enne-11
phat <- noncommestibili/enne
cat("phat: ",phat,"\n")
@

\item[2)]
<<3-4-8-risposta2>>=
alpha <- 0.05
zcrit <- qnorm(1-alpha/2)
l1 <- phat-zcrit*sqrt(phat*(1-phat)/enne)
l2 <- phat+zcrit*sqrt(phat*(1-phat)/enne)
cat("Intervallo di confidenza: (",l1,",",l2,")\n")
@
\end{itemize}

\section*{Esercizio 3.4.9} \addcontentsline{toc}{section}{Esercizio 3.4.9}

\begin{itemize}
\item[1)]
<<3-4-9-risposta1>>=
data(esercizio.1.4.10)
Raccolto <- esercizio.1.4.10[,"Raccolto"]
Varieta <- esercizio.1.4.10[,"Varieta"]
meanONLYv2 <- mean(Raccolto[Varieta=="2"])
cat("Media: ",meanONLYv2,"\n")
varONLYv2 <- var(Raccolto[Varieta=="2"])
cat("Varianza: ",varONLYv2,"\n")
@

\item[2)]
<<3-4-9-risposta2>>=
sigma2 <- 3.5**2
incertezza <- 1
alpha <- 0.07 
zcrit <- qnorm(1-alpha/2)
enne <- ceiling(sigma2*(2*zcrit/incertezza)**2)
cat("n: ",enne,"\n")
@

\item[3)]

Stimare la varianza incognita ed assumere l'ipotesi di normalità in presenza di un campione sufficientemente ampio.
\end{itemize}

\section*{Esercizio 3.4.10} \addcontentsline{toc}{section}{Esercizio 3.4.10}

\begin{itemize}
\item[1)]
<<3-4-10-risposta1>>=
capacita <- 0.75
enne <- 111
nonAdatteVendita <- 37
phat <- nonAdatteVendita/enne
cat("phat: ",phat,"\n")
@

\item[2)]
<<3-4-10-risposta2>>=
alpha <- 0.02
zcrit <- qnorm(1-alpha/2)
l1 <- phat-zcrit*sqrt(phat*(1-phat)/enne)
l2 <- phat+zcrit*sqrt(phat*(1-phat)/enne)
cat("Intervallo di confidenza: (",l1,",",l2,")\n")
@
\end{itemize}

\section*{Esercizio 3.4.11} \addcontentsline{toc}{section}{Esercizio 3.4.11}

\begin{itemize}
\item[1)]
<<3-4-11-risposta1>>=
enne <- 129
distribuzione <- matrix(c(8,5,38,26,31,21),ncol=2,nrow=3,byrow=T)
X <- list(val=0:1,freq=c(8+38+31,5+26+21))
matrix(c(X$val,X$freq),nrow=2,dimnames=list(character(2),c("X","Freq")))
Y <- list(val=0:2,freq=c(8+5,38+26,31+21))
matrix(c(Y$val,Y$freq),nrow=3,dimnames=list(character(3),c("Y","Freq")))
@

\item[2)]
<<3-4-11-risposta2>>=
abeteOfaggio <- sum(distribuzione[2:3,])
phat <- abeteOfaggio/enne
alpha <- 0.05
zcrit <- qnorm(1-alpha/2)
l1 <- phat-zcrit*sqrt(phat*(1-phat)/enne)
l2 <- phat+zcrit*sqrt(phat*(1-phat)/enne)
cat("Intervallo di confidenza: (",l1,",",l2,")\n")
@
\end{itemize}

\section*{Esercizio 3.4.12} \addcontentsline{toc}{section}{Esercizio 3.4.12}

\begin{itemize}
\item[1)]
Si distribuisce normalmente con media uguale a quella della popolazione e varianza
uguale a quella della popolazione divisa per \verb+n = 5+.

\item[2)]
<<3-4-12-risposta2>>=
varianza <- 25
enne <- 5
media <- 2000
alpha <- 0.08
zcrit <- qnorm(1-alpha/2)
l1 <- media-zcrit*sqrt(varianza/enne)
l2 <- media+zcrit*sqrt(varianza/enne)
cat("Intervallo di confidenza: (",l1,",",l2,")\n")
@
\end{itemize}

\section*{Esercizio 3.4.13} \addcontentsline{toc}{section}{Esercizio 3.4.13}

\begin{itemize}
\item[1)]
<<3-4-13-risposta1>>=
enne <- 25
difettate <- 6
livello <- 0.87
phat <- difettate/enne
alpha <- 1-livello
zcrit <- qnorm(1-alpha/2)
l1 <- phat-zcrit*sqrt(phat*(1-phat)/enne)
l2 <- phat+zcrit*sqrt(phat*(1-phat)/enne)
cat("Intervallo di confidenza: (",l1,",",l2,")\n")
@

\item[2)]
Vale l'approssimazione asintotica normale basata sul TCL.
\end{itemize}

\section*{Esercizio 3.4.14} \addcontentsline{toc}{section}{Esercizio 3.4.14}

\begin{itemize}
\item[1)]
<<3-4-14-risposta1>>=
enne <- 25
sommaY <- 2205
S2n <- 14.7
mediaY <- sommaY/enne
stimavar <- S2n*(enne)/(enne-1)
cat("varianza: ",stimavar,"\n")
@

\item[2)]
<<3-4-14-risposta2>>=
alpha <- 0.05
l1 <- (enne-1)*stimavar/qchisq(1-alpha/2,df=enne-1)
l2 <- (enne-1)*stimavar/qchisq(alpha/2,df=enne-1)
cat("Intervallo di confidenza: (",l1,",",l2,")\n")
@

\item[3)]
<<3-4-14-risposta3>>=
prob <- 1-pnorm(90,mean=mediaY,sd=sqrt(stimavar))
cat("probabilità: ",prob,"\n")
@
\end{itemize}

\section*{Esercizio 3.4.15} \addcontentsline{toc}{section}{Esercizio 3.4.15}

\begin{itemize}
\item[1)]
Attenzione, i dati cambiano ad ogni simulazione!

<<3-4-15-risposta1>>=
cat("matrice<-matrix(data=rnorm(n=10000*5,mean=105,sd=6),nrow=10000,ncol=5)\n")
cat("matrice\n")
@

\item[2)]
<<3-4-15-risposta2>>=
cat("resS1 <- apply(matrice,MARGIN=1,FUN=min)")
cat("resS2 <- apply(matrice,MARGIN=1,FUN=mean)")
cat("mean(resS1)")
cat("var(resS1)")
cat("mean(resS2)")
cat("var(resS1)")
@

\item[3)]
La media di \verb+S2+ si avvicina molto di più al valore 105 (teorico) di quella di \verb+S1+. La varianza
di \verb+S2+ è molto più bassa di quella di \verb+S1+.\\
Sulla variabile media campionaria è basato il TCL.
\end{itemize}

\end{document}

