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\hypersetup{ %
pdfauthor={F. Frascati & F. M. Stefanini}, %
pdftitle={INTRODUZIONE ALLA STATISTICA APPLICATA con esempi in R - Soluzioni degli esercizi di ricapitolazione Capitolo 4}, %
pdfsubject={Il test delle ipotesi} %
} %

%\VignetteIndexEntry{Soluzioni degli esercizi di ricapitolazione Capitolo 4}
%\VignettePackage{ISA}
%\VignetteDepends{ISA,stats,utils,tools}
%\VignetteKeyword{univar,distribution,htest}

\title{\textbf{\LARGE INTRODUZIONE ALLA STATISTICA APPLICATA con esempi in R}\\[0.3cm] %
\makebox[\textwidth]{\large \url{http://hpe.pearsoned.it/stefanini}}\\[1cm]
\centerline{\includegraphics[height=4.26cm,width=3cm]{./Ico/Index}}
\vspace{1cm} %
\large \bf Soluzioni degli esercizi di ricapitolazione Capitolo 4:\\ \lq\lq Il test delle ipotesi\rq\rq\\[2pt] %
%Facoltà di Economia\\[2pt] %
%Università degli Studi di Firenze\\[2pt] %
%A.A 2006-2007\\[2pt] %
}
\author{F.~Frascati \and F.~M.~Stefanini} %

\date{\today\\[20pt] \includegraphics[height=2.117cm,width=2.787cm]{./Ico/show}} %

\linespread{1.3}

\begin{document}

\SweaveOpts{prefix.string=figure/Capitolo4/Esercizio,eps=F,echo=F} %
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\maketitle

<<results=hide>>=
library(ISA)
@
 
\section*{Esercizio 4.4.1} \addcontentsline{toc}{section}{Esercizio 4.4.1}

\begin{itemize}
<<>>=
data(esercizio.4.4.1)
DFlavoro <- esercizio.4.4.1
@

\item[1)]
<<4-4-1-risposta1>>=
enne <- 301
frequenze <- DFlavoro$frequenze
val <- unique(DFlavoro$Y)
freqrel <- c(sum(frequenze[DFlavoro$Y=="0"]),sum(frequenze[DFlavoro$Y=="1"]))/enne
matrix(c(val,freqrel),nrow=2,dimnames=list(character(2),c("Y","Freq")))
@

La percentuale dei capi malati ammonta al \Sexpr{round(freqrel[2],5)*100} $\%$.

\item[2)]
L'ipotesi da testare è l'associazione tra malattia ed età.
<<4-4-1-risposta2>>=
frequenzeoss <- matrix(frequenze,nrow=2)
marginX <- c(9+9,38+19,47+179)
marginY <- c(9+38+47,9+19+179)
frequenzecalc <- matrix(outer(marginY,marginX,"*"),nrow=2)/enne
chi2emp <- sum(frequenzeoss**2/frequenzecalc)-enne
alpha <- 0.05
gdl <- (2-1)*(3-1)
chi2crit <- qchisq(1-alpha,df=gdl)
cat("Statistica test: ",chi2emp,"\n")
cat("pvalue: ",1-pchisq(chi2emp,df=gdl),"\n")
cat("Valore critico con ampiezza",alpha,"(monolaterale destro): ",chi2crit,"\n")
cat("gradi di libertà: ",gdl,"\n")
if(chi2emp>chi2crit) cat("-> Rifiutare H0 con ampiezza",alpha,"\n") else cat("-> Non rifiutare H0 con ampiezza",alpha,"\n")
cat("Frequenze osservate:\n")
matrix(frequenzeoss,nrow=2,ncol=3,dimnames=list(c("Y = 0","Y = 1"),c("X = 0","X = 1","X = 2")))
cat("Frequenze attese:\n")
matrix(frequenzecalc,nrow=2,ncol=3,dimnames=list(c("Y = 0","Y = 1"),c("X = 0","X = 1","X = 2")))
cat("Residui di Pearson:\n")
matrix((frequenzeoss-frequenzecalc)/sqrt(frequenzecalc),nrow=2,ncol=3,dimnames=list(c("Y = 0","Y = 1"),c("X = 0","X = 1","X = 2")))
@
\end{itemize}

\begin{figure}[h]
\centering
<<4-4-1-risposta2,fig=TRUE>>=
lim.sx <- -0.5
lim.dx <- 10
x <- seq(lim.sx,lim.dx,by=0.01)
plot(x,dchisq(x,df=2),xlab="x",ylab="Densità",main=
expression(paste("Distribuzione ",chi^2," con 2 gradi di libertà")),type="l")
#xa <- seq(lim.sx,chi2emp,by=0.01)
#ya <- c(dt(xa,df=36),0,0)
#xa <- c(xa,tempirico,lim.sx)
#polygon(xa,ya,col="black")
#xa <- seq(-tempirico,lim.dx,by=0.01)
#ya <- c(dt(xa,df=77),0,0)
#xa <- c(xa,lim.dx,-tempirico)
#polygon(xa,ya,col="black")
abline(h=0)
legend(5,0.4,paste("c = ",round(chi2emp,5),"\npvalue = ",signif(1-pchisq(chi2emp,df=2),7)))
@
 %\caption{\href{file:Figure/Capitolo4/Esercizio-4-4-2-risposta3grafico.pdf}{Test di ipotesi fabio}}
 %\label{fig:4-4-2-risposta3grafico}
\end{figure}

\section*{Esercizio 4.4.2} \addcontentsline{toc}{section}{Esercizio 4.4.2}

\begin{itemize}
\item[1)]
<<4-4-2-risposta1>>=
cat("H0: mu1 = mu2 \nH1: mu1 != mu2\n")
@

\item[2)]
<<4-4-2-risposta2>>=
n1 <- 31
n2 <- 48
media1 <- 37.57
media2 <- 37.71
var1 <- 0.0912
var2 <- 0.1452
alpha <- 0.01
gdl <- n1+n2-2
Spooled <- sqrt(((n1-1)*var1+(n2-1)*var2)/gdl)
tempirico <- (media1-media2)/(Spooled*sqrt(1/n1+1/n2))
tcrit <- qt(1-alpha/2,df=gdl)
cat("Statistica test: ",tempirico,"\n")
cat("Valore critico con ampiezza",alpha,"(bilaterale): -/+",tcrit,"\n")
cat("gradi di libertà: ",gdl,"\n")
cat("Spooled: ",Spooled,"\n")
if(abs(tempirico)>tcrit) cat("-> Rifiutare H0 con ampiezza",alpha,"\n") else cat("-> Non rifiutare H0 con ampiezza",alpha,"\n")
@

\item[3)]
<<4-4-2-risposta3>>=
pvalue <- 2*pt(-abs(tempirico),df=gdl)
cat("pvalue: ",pvalue,"\n")
@
\end{itemize}

\begin{figure}[h]
\centering
<<4-4-2-risposta3,fig=TRUE>>=
lim.sx <- -10
lim.dx <- 10
x <- seq(lim.sx,lim.dx,by=0.01)
plot(x,dt(x,df=77),xlab="x",ylab="Densità",main=
expression(paste("Distribuzione ",italic(t)," di Student con 77 gradi di libertà")),type="l")
xa <- seq(lim.sx,tempirico,by=0.01)
ya <- c(dt(xa,df=77),0,0)
xa <- c(xa,tempirico,lim.sx)
polygon(xa,ya,col="black")
xa <- seq(-tempirico,lim.dx,by=0.01)
ya <- c(dt(xa,df=77),0,0)
xa <- c(xa,lim.dx,-tempirico)
polygon(xa,ya,col="black")
abline(h=0)
legend(1.5,0.3,paste("t = ",round(tempirico,6),"\npvalue = ",round(pvalue,8)))
@
 %\caption{\href{file:Figure/Capitolo4/Esercizio-4-4-2-risposta3grafico.pdf}{Test di ipotesi fabio}}
 %\label{fig:4-4-2-risposta3grafico}
\end{figure}

\section*{Esercizio 4.4.3} \addcontentsline{toc}{section}{Esercizio 4.4.3}

\begin{itemize}
\item[1)]
<<4-4-3-risposta1>>=
enne <- 88
frequenzeoss <- c(perfetti=54,lieviImp=29,graviImp=5)
prop <- c(perfetti= 0.5,lieviImp=0.25,graviImp=1-0.5-0.25)
frequenzecalc <- prop*enne
k <- length(frequenzeoss)
chi2emp <- sum(frequenzeoss**2/frequenzecalc)-enne
alpha <- 0.1
chi2crit <- qchisq(1-alpha,df=k-1)
cat("Statistica test: ",chi2emp,"\n")
cat("Valore critico con ampiezza",alpha,"(monolaterale destro): ",chi2crit,"\n")
cat("gradi di libertà: ",k-1,"\n")
if(chi2emp>chi2crit) cat("-> Rifiutare H0 con ampiezza",alpha,"\n") else cat("-> Non rifiutare H0 con ampiezza",alpha,"\n")
cat("Frequenze osservate:\n")
matrix(frequenzeoss,nrow=1,ncol=3,dimnames=list(character(1),c("No Imperfezioni","Lievi imperfezioni","Gravi imperfezioni")))
cat("Frequenze attese:\n")
matrix(frequenzecalc,nrow=1,ncol=3,dimnames=list(character(1),c("No Imperfezioni","Lievi imperfezioni","Gravi imperfezioni")))
@

\item[2)]
<<4-4-3-risposta2>>=
pvalue <- 1-pchisq(chi2emp,df=k-1)
cat("pvalue: ",pvalue,"\n")
@
\end{itemize}

\begin{figure}[h]
\centering
<<4-4-3-risposta2,fig=TRUE>>=
lim.sx <- -0.5
lim.dx <- 20
x <- seq(lim.sx,lim.dx,by=0.01)
plot(x,dchisq(x,df=2),xlab="x",ylab="Densità",main=
expression(paste("Distribuzione ",chi^2," con 2 gradi di libertà")),type="l")
#xa <- seq(lim.sx,chi2emp,by=0.01)
#ya <- c(dt(xa,df=36),0,0)
#xa <- c(xa,tempirico,lim.sx)
#polygon(xa,ya,col="black")
xa <- seq(chi2emp,lim.dx,by=0.01)
ya <- c(dchisq(xa,df=2),0,0)
xa <- c(xa,lim.dx,chi2emp)
polygon(xa,ya,col="black")
abline(h=0)
legend(10,0.4,paste("c = ",round(chi2emp,5),"\npvalue = ",round(1-pchisq(chi2emp,df=2),10)))
@
 %\caption{\href{file:Figure/Capitolo4/Esercizio-4-4-2-risposta3grafico.pdf}{Test di ipotesi fabio}}
 %\label{fig:4-4-2-risposta3grafico}
\end{figure}

\section*{Esercizio 4.4.4} \addcontentsline{toc}{section}{Esercizio 4.4.4}

\begin{itemize}
\item[1)]
<<4-4-4-risposta1>>=
frequenzeoss <- matrix(c(57,84,50,56,133,66,81,141,86),nrow=3,dimnames=list(c("bassa","media","alta"),c("Brembana","Seriana","Torta")))
enne <- sum(frequenzeoss)
marginX <- c(57+56+81,84+133+141,50+66+86)
marginY <- c(57+84+50,56+133+66,81+141+86)
frequenzecalc <- matrix(outer(marginX,marginY,"*"),nrow=3)/enne
chi2emp <- sum(frequenzeoss**2/frequenzecalc)-enne
alpha <- 0.01
gdl <- (3-1)*(3-1)
chi2crit <- qchisq(1-alpha,df=gdl)
cat("Statistica test: ",chi2emp,"\n")
pvalue <- 1-pchisq(chi2emp,df=gdl)
cat("pvalue: ",pvalue,"\n")
cat("Valore critico con ampiezza",alpha,"(monolaterale destro): ",chi2crit,"\n")
cat("gradi di libertà: ",gdl,"\n")
if(chi2emp>chi2crit) cat("-> Rifiutare H0 con ampiezza",alpha,"\n") else cat("-> Non rifiutare H0 con ampiezza",alpha,"\n")
cat("Frequenze osservate:\n")
matrix(frequenzeoss,nrow=3,ncol=3,dimnames=list(c("bassa","media","alta"),c("Brembana","Seriana","Torta")))
cat("Frequenze attese:\n")
matrix(frequenzecalc,nrow=3,ncol=3,dimnames=list(c("bassa","media","alta"),c("Brembana","Seriana","Torta")))
cat("Residui di Pearson:\n")
matrix((frequenzeoss-frequenzecalc)/sqrt(frequenzecalc),nrow=3,ncol=3,dimnames=list(c("bassa","media","alta"),c("Brembana","Seriana","Torta")))
@
\end{itemize}

\begin{figure}[h]
\centering
<<4-4-4-risposta1,fig=TRUE>>=
lim.sx <- -0.5
lim.dx <- 20
x <- seq(lim.sx,lim.dx,by=0.01)
plot(x,dchisq(x,df=4),xlab="x",ylab="Densità",main=
expression(paste("Distribuzione ",chi^2," con 4 gradi di libertà")),type="l")
#xa <- seq(lim.sx,chi2emp,by=0.01)
#ya <- c(dt(xa,df=36),0,0)
#xa <- c(xa,tempirico,lim.sx)
#polygon(xa,ya,col="black")
xa <- seq(chi2emp,lim.dx,by=0.01)
ya <- c(dchisq(xa,df=4),0,0)
xa <- c(xa,lim.dx,chi2emp)
polygon(xa,ya,col="black")
abline(h=0)
legend(11.5,0.15,paste("c = ",round(chi2emp,6),"\npvalue = ",signif(1-pchisq(chi2emp,df=4),7)))
@
 %\caption{\href{file:Figure/Capitolo4/Esercizio-4-4-2-risposta3grafico.pdf}{Test di ipotesi fabio}}
 %\label{fig:4-4-2-risposta3grafico}
\end{figure}

\section*{Esercizio 4.4.5} \addcontentsline{toc}{section}{Esercizio 4.4.5}

\begin{itemize}
\item[1)]
<<4-4-5-risposta1>>=
cat("H0: mu1 = mu2 \nH1: mu1 < mu2\n")
@

\item[2)]
<<4-4-5-risposta2>>=
data(esercizio.1.4.10)
Raccolto <- esercizio.1.4.10[,"Raccolto"]
Varieta <- esercizio.1.4.10[,"Varieta"]
n1 <- length(Raccolto[Varieta=="1"])
n2 <- length(Raccolto[Varieta=="2"])
media1 <- mean(Raccolto[Varieta=="1"])
media2 <- mean(Raccolto[Varieta=="2"])
var1 <- var2 <- 2
alpha <- 0.1
zcrit <- qnorm(alpha)
zemp <- (media1-media2)/sqrt(var1/n1+var2/n2)
pvalue <- pnorm(zemp)
cat("Statistica test: ",zemp,"\n")
cat("pvalue: ",pvalue,"\n")
cat("Valore critico con ampiezza",alpha,"(monolaterale sinistro): ",zcrit,"\n")
if(zemp<zcrit) cat("-> Rifiutare H0 con ampiezza",alpha,"\n") else cat("-> Non rifiutare H0 con ampiezza",alpha,"\n")
@
\end{itemize}

\begin{figure}[h]
\centering
<<4-4-5-risposta3,fig=TRUE>>=
lim.sx <- -10
lim.dx <- 10
x <- seq(lim.sx,lim.dx,by=0.01)
plot(x,dnorm(x),xlab="x",ylab="Densità",main=
expression(paste("Distribuzione ",italic(Z)," di Gauss")),type="l")
xa <- seq(lim.sx,zemp,by=0.01)
ya <- c(dnorm(xa),0,0)
xa <- c(xa,zemp,lim.sx)
polygon(xa,ya,col="black")
#xa <- seq(-tempirico,lim.dx,by=0.01)
#ya <- c(dt(xa,df=77),0,0)
#xa <- c(xa,lim.dx,-tempirico)
#polygon(xa,ya,col="black")
abline(h=0)
legend(1.5,0.3,paste("z = ",round(zemp,6),"\npvalue = ",round(pvalue,7)))
@
 %\caption{\href{file:Figure/Capitolo4/Esercizio-4-4-2-risposta3grafico.pdf}{Test di ipotesi fabio}}
 %\label{fig:4-4-2-risposta3grafico}
\end{figure}

\section*{Esercizio 4.4.6} \addcontentsline{toc}{section}{Esercizio 4.4.6}

\begin{itemize}
\item[1)]
<<4-4-6-risposta1>>=
varianza <- 9
enne <- 7
sommaY <- 1093.87
mu0 <- 155
media <- sommaY/enne
alpha <- 0.09
zcrit <- qnorm(1-alpha/2)
l1 <- media - zcrit*sqrt(varianza/enne)
l2 <- media + zcrit*sqrt(varianza/enne)
cat("1-alpha: ",1-alpha,"\n")
cat("Intervallo di confidenza: (",l1,",",l2,")\n")
@

\item[2)]
<<4-4-6-risposta2>>=
cat("H0: mu = 155 \nH1: mu > 155\n")
zemp <- (media-mu0)/sqrt(varianza/enne)
cat("Statistica test: ",zemp,"\n")
cat("Valore critico con ampiezza",alpha,"(monolaterale destro): ",zcrit,"\n")
if(zemp>zcrit) cat("-> Rifiutare H0 con ampiezza",alpha,"\n") else cat("-> Non rifiutare H0 con ampiezza",alpha,"\n")
@

\item[3)]
<<4-4-6-risposta3>>=
pvalue <- 1-pnorm(zemp)
cat("pvalue: ",pvalue,"\n")
@
\end{itemize}

\begin{figure}[h]
\centering
<<4-4-6-risposta3,fig=TRUE>>=
lim.sx <- -10
lim.dx <- 10
x <- seq(lim.sx,lim.dx,by=0.01)
plot(x,dnorm(x),xlab="x",ylab="Densità",main=
expression(paste("Distribuzione ",italic(Z)," di Gauss")),type="l")
#xa <- seq(lim.sx,zemp,by=0.01)
#ya <- c(dnorm(xa),0,0)
#xa <- c(xa,zemp,lim.sx)
#polygon(xa,ya,col="black")
xa <- seq(zemp,lim.dx,by=0.01)
ya <- c(dnorm(xa),0,0)
xa <- c(xa,lim.dx,zemp)
polygon(xa,ya,col="black")
abline(h=0)
legend(1.5,0.3,paste("z = ",round(zemp,6),"\npvalue = ",round(pvalue,7)))
@
 %\caption{\href{file:Figure/Capitolo4/Esercizio-4-4-2-risposta3grafico.pdf}{Test di ipotesi fabio}}
 %\label{fig:4-4-2-risposta3grafico}
\end{figure}

\section*{Esercizio 4.4.7} \addcontentsline{toc}{section}{Esercizio 4.4.7}

\begin{itemize}
\item[1)]
<<4-4-7-risposta1>>=
cat("H0: mu1 = mu2 \nH1: mu1 != mu2\n")
Standard <- c(enne=22,media=107,stimaVar=12)
Saline <- c(enne=16,media=111,stimaVar=18)
n1 <- Standard["enne"]
media1 <- Standard["media"]
var1 <- Standard["stimaVar"]
n2 <- Saline["enne"]
media2 <- Saline["media"]
var2 <- Saline["stimaVar"]
alpha <- 0.1
gdl <- n1+n2-2
Spooled <- sqrt(((n1-1)*var1+(n2-1)*var2)/gdl)
tempirico <- (media1-media2)/(Spooled*sqrt(1/n1+1/n2))
tcrit <- qt(1-alpha/2,df=gdl)
cat("Statistica test: ",tempirico,"\n")
cat("Valore critico con ampiezza",alpha,"(bilaterale): -/+",tcrit,"\n")
cat("gradi di libertà: ",gdl,"\n")
if(abs(tempirico)>tcrit) cat("-> Rifiutare H0 con ampiezza",alpha,"\n") else cat("-> Non rifiutare H0 con ampiezza",alpha,"\n")
@

\item[2)]
<<4-4-7-risposta2>>=
pvalue <- 2*pt(-abs(tempirico),df=gdl)
cat("pvalue: ",pvalue,"\n")
@
\end{itemize}

\begin{figure}[h]
\centering
<<4-4-7-risposta2,fig=TRUE>>=
lim.sx <- -10
lim.dx <- 10
x <- seq(lim.sx,lim.dx,by=0.01)
plot(x,dt(x,df=36),xlab="x",ylab="Densità",main=
expression(paste("Distribuzione ",italic(t)," di Student con 36 gradi di libertà")),type="l")
xa <- seq(lim.sx,tempirico,by=0.01)
ya <- c(dt(xa,df=36),0,0)
xa <- c(xa,tempirico,lim.sx)
polygon(xa,ya,col="black")
xa <- seq(-tempirico,lim.dx,by=0.01)
ya <- c(dt(xa,df=77),0,0)
xa <- c(xa,lim.dx,-tempirico)
polygon(xa,ya,col="black")
abline(h=0)
legend(1.5,0.3,paste("t = ",round(tempirico,6),"\npvalue = ",round(pvalue,9)))
@
 %\caption{\href{file:Figure/Capitolo4/Esercizio-4-4-2-risposta3grafico.pdf}{Test di ipotesi fabio}}
 %\label{fig:4-4-2-risposta3grafico}
\end{figure}

\section*{Esercizio 4.4.8} \addcontentsline{toc}{section}{Esercizio 4.4.8}

\begin{itemize}
\item[1)]
<<4-4-8-risposta1>>=
frequenzeoss <- c(27,58,25)
enne <- sum(frequenzeoss)
prop <- c(0.2,0.5,0.3)
frequenzecalc <- prop*enne
k <- length(frequenzeoss)
valempirico <- sum(frequenzeoss**2/frequenzecalc)-enne
alpha <- 0.05
valecrit <- qchisq(1-alpha,df=k-1)
cat("Statistica test: ",valempirico,"\n")
cat("Valore critico con ampiezza",alpha,"(monolaterale destro): ",valecrit,"\n")
cat("gradi di libertà: ",k-1,"\n")
if(valempirico>valecrit) cat("-> Rifiutare H0 con ampiezza",alpha,"\n") else cat("-> Non rifiutare H0 con ampiezza",alpha,"\n")
cat("Frequenze osservate:\n")
matrix(frequenzeoss,nrow=1,ncol=3,dimnames=list(character(1),c("Bassa qualità","Media qualità","Alta qualità")))
cat("Frequenze attese:\n")
matrix(frequenzecalc,nrow=1,ncol=3,dimnames=list(character(1),c("Bassa qualità","Media qualità","Alta qualità")))
@

\item[2)]
<<4-4-8-risposta2a>>=
pvalue <- 1-pchisq(valempirico,df=k-1)
cat("pvalue: ",pvalue,"\n")
@
\end{itemize}

\begin{figure}[h]
\centering
<<4-4-8-risposta2b,fig=TRUE>>=
lim.sx <- -0.5
lim.dx <- 20
x <- seq(lim.sx,lim.dx,by=0.01)
plot(x,dchisq(x,df=2),xlab="x",ylab="Densità",main=
expression(paste("Distribuzione ",chi^2," con 2 gradi di libertà")),type="l")
#xa <- seq(lim.sx,chi2emp,by=0.01)
#ya <- c(dt(xa,df=36),0,0)
#xa <- c(xa,tempirico,lim.sx)
#polygon(xa,ya,col="black")
xa <- seq(valempirico,lim.dx,by=0.01)
ya <- c(dchisq(xa,df=2),0,0)
xa <- c(xa,lim.dx,valempirico)
polygon(xa,ya,col="black")
abline(h=0)
legend(10,0.4,paste("c = ",round(valempirico,6),"\npvalue = ",round(1-pchisq(valempirico,df=2),7)))
@
 %\caption{\href{file:Figure/Capitolo4/Esercizio-4-4-2-risposta3grafico.pdf}{Test di ipotesi fabio}}
 %\label{fig:4-4-2-risposta3grafico}
\end{figure}

\section*{Esercizio 4.4.9} \addcontentsline{toc}{section}{Esercizio 4.4.9}

\begin{itemize}
\item[1)]
<<4-4-9-risposta1>>=
enne <- 120
lambda <- 0.91
frequenzeoss <- c(12,14,94,0)
prop <- c(dpois(0:2,lambda=lambda),1-ppois(2,lambda=lambda))
frequenzecalc <- prop*enne
k <- length(frequenzeoss)
valempirico <- sum(frequenzeoss**2/frequenzecalc)-enne
pvalue <- 1-pchisq(valempirico,df=k-1)
alpha <- 0.05
valecrit <- qchisq(1-alpha,df=k-1)
cat("Statistica test: ",valempirico,"\n")
cat("pvalue: ",pvalue,"\n")
cat("Valore critico con ampiezza",alpha,"(monolaterale destro): ",valecrit,"\n")
cat("gradi di libertà: ",k-1,"\n")
if(valempirico>valecrit) cat("-> Rifiutare H0 con ampiezza",alpha,"\n") else cat("-> Non rifiutare H0 con ampiezza",alpha,"\n")
cat("Frequenze osservate:\n")
matrix(frequenzeoss,nrow=1,ncol=4,dimnames=list(character(1),c("X = 0","X = 1","X = 2","X = 3")))
cat("Frequenze attese:\n")
matrix(frequenzecalc,nrow=1,ncol=4,dimnames=list(character(1),c("X = 0","X = 1","X = 2","X = 3")))
@
\end{itemize}

\begin{figure}[h]
\centering
<<4-4-9-risposta1,fig=TRUE>>=
lim.sx <- -0.5
lim.dx <- 20
x <- seq(lim.sx,lim.dx,by=0.01)
plot(x,dchisq(x,df=3),xlab="x",ylab="Densità",main=
expression(paste("Distribuzione ",chi^2," con 3 gradi di libertà")),type="l")
#xa <- seq(lim.sx,chi2emp,by=0.01)
#ya <- c(dt(xa,df=36),0,0)
#xa <- c(xa,tempirico,lim.sx)
#polygon(xa,ya,col="black")
#xa <- seq(valempirico,lim.dx,by=0.01)
#ya <- c(dchisq(xa,df=3),0,0)
#xa <- c(xa,lim.dx,valempirico)
#polygon(xa,ya,col="black")
abline(h=0)
legend(10,0.2,paste("c = ",round(valempirico,4),"\npvalue = ",round(1-pchisq(valempirico,df=3),7)))
@
 %\caption{\href{file:Figure/Capitolo4/Esercizio-4-4-2-risposta3grafico.pdf}{Test di ipotesi fabio}}
 %\label{fig:4-4-2-risposta3grafico}
\end{figure}

\section*{Esercizio 4.4.10} \addcontentsline{toc}{section}{Esercizio 4.4.10}

\begin{itemize}
\item[1)]
<<4-4-10-risposta1>>=
cat("H0: mu1 = mu2 \nH1: mu1 != mu2\n")
macchinarioM1 <- c(sommaX=29037.9,varianzaX=16.9791,enne=264)
macchinarioM2 <- c(sommaX=33888.5,varianzaX=15.412,enne=295)
n1 <- macchinarioM1[["enne"]]
media1 <- macchinarioM1[["sommaX"]]/n1
var1 <- macchinarioM1[["varianzaX"]]
n2 <- macchinarioM2[["enne"]]
media2 <- macchinarioM2[["sommaX"]]/n2
var2 <- macchinarioM2[["varianzaX"]]
alpha <- 0.01
gdl <- n1+n2-2
Spooled <- sqrt(((n1-1)*var1+(n2-1)*var2)/gdl)
tempirico <- (media1-media2)/(Spooled*sqrt(1/n1+1/n2))
tcrit <- qt(1-alpha/2,df=gdl)
cat("Statistica test: ",tempirico,"\n")
cat("Valore critico con ampiezza",alpha,"(bilaterale): -/+",tcrit,"\n")
cat("gradi di libertà: ",gdl,"\n")
cat("Spooled: ",Spooled,"\n")
if(abs(tempirico)>tcrit) cat("-> Rifiutare H0 con ampiezza",alpha,"\n") else cat("-> Non rifiutare H0 con ampiezza",alpha,"\n")
@

\item[2)]
<<4-4-10-risposta2>>=
pvalue <- 2*pt(-abs(tempirico),df=gdl)
cat("pvalue: ",pvalue,"\n")
@
\end{itemize}

\begin{figure}[h]
\centering
<<4-4-10-risposta2,fig=TRUE>>=
lim.sx <- -20
lim.dx <- 20
x <- seq(lim.sx,lim.dx,by=0.01)
plot(x,dt(x,df=557),xlab="x",ylab="Densità",main=
expression(paste("Distribuzione ",italic(t)," di Student con 557 gradi di libertà")),type="l")
#xa <- seq(lim.sx,tempirico,by=0.01)
#ya <- c(dt(xa,df=36),0,0)
#xa <- c(xa,tempirico,lim.sx)
#polygon(xa,ya,col="black")
#xa <- seq(-tempirico,lim.dx,by=0.01)
#ya <- c(dt(xa,df=77),0,0)
#xa <- c(xa,lim.dx,-tempirico)
#polygon(xa,ya,col="black")
abline(h=0)
legend(1.5,0.3,paste("t = ",round(tempirico,5),"\npvalue = ",signif(pvalue,7)))
@
 %\caption{\href{file:Figure/Capitolo4/Esercizio-4-4-2-risposta3grafico.pdf}{Test di ipotesi fabio}}
 %\label{fig:4-4-2-risposta3grafico}
\end{figure}

\section*{Esercizio 4.4.11} \addcontentsline{toc}{section}{Esercizio 4.4.11}

\begin{itemize}
\item[1)]
<<4-4-11-risposta1>>=
cat("H0: p = 0.2 \nH1: p != 0.2\n")
enne <- 25
difettose <- 6
phat <- difettose/enne
alpha <- 0.1
p0 <- 0.2
zemp <- (phat-p0)/sqrt(p0*(1-p0)/enne)
zcrit <- qnorm(1-alpha/2)
pvalue <- 2*pnorm(-abs(zemp))
cat("Statistica test: ",zemp,"\n")
cat("pvalue: ",pvalue,"\n")
cat("Valore critico con ampiezza",alpha,"(bilaterale): -/+",zcrit,"\n")
if(abs(zemp)>zcrit) cat("-> Rifiutare H0 con ampiezza",alpha,"\n") else cat("-> Non rifiutare H0 con ampiezza",alpha,"\n")
@
\end{itemize}

\begin{figure}[h]
\centering
<<4-4-11-risposta1,fig=TRUE>>=
lim.sx <- -10
lim.dx <- 10
x <- seq(lim.sx,lim.dx,by=0.01)
plot(x,dnorm(x),xlab="x",ylab="Densità",main=
expression(paste("Distribuzione ",italic(Z)," di Gauss")),type="l")
xa <- seq(lim.sx,-zemp,by=0.01)
ya <- c(dnorm(xa),0,0)
xa <- c(xa,-zemp,lim.sx)
polygon(xa,ya,col="black")
xa <- seq(zemp,lim.dx,by=0.01)
ya <- c(dnorm(xa),0,0)
xa <- c(xa,lim.dx,zemp)
polygon(xa,ya,col="black")
abline(h=0)
legend(1.5,0.3,paste("z = ",round(zemp,6),"\npvalue = ",round(pvalue,7)))
@
 %\caption{\href{file:Figure/Capitolo4/Esercizio-4-4-2-risposta3grafico.pdf}{Test di ipotesi fabio}}
 %\label{fig:4-4-2-risposta3grafico}
\end{figure}

\section*{Esercizio 4.4.12} \addcontentsline{toc}{section}{Esercizio 4.4.12}

\begin{itemize}
\item[1)]
<<4-4-12-risposta1>>=
frequenzeoss <- c(11,29,9,21,80,25)
enne <- sum(frequenzeoss)
valori <- c(146,161,177,193,208,224)
valoricentrali <- c((130+146)/2,(146+161)/2,(161+177)/2,(177+193)/2,(193+208)/2,(208+224)/2)
media <- sum(valoricentrali*frequenzeoss)/sum(frequenzeoss)
varianza <- sum(frequenzeoss*(valoricentrali-media)**2)/(sum(frequenzeoss)-1)
prop <- numeric(6)
prop[1] <- pnorm(161,mean=media,sd=sqrt(varianza))-pnorm(146,mean=media,sd=sqrt(varianza))
prop[2] <- pnorm(177,mean=media,sd=sqrt(varianza))-pnorm(161,mean=media,sd=sqrt(varianza))
prop[3] <- pnorm(193,mean=media,sd=sqrt(varianza))-pnorm(177,mean=media,sd=sqrt(varianza))
prop[4] <- pnorm(208,mean=media,sd=sqrt(varianza))-pnorm(193,mean=media,sd=sqrt(varianza))
prop[5] <- pnorm(224,mean=media,sd=sqrt(varianza))-pnorm(208,mean=media,sd=sqrt(varianza))
prop[6] <- 1-sum(prop[1:5])
frequenzecalc <- prop*enne
k <- length(frequenzeoss)
valempirico <- sum(frequenzeoss**2/frequenzecalc)-enne
alpha <- 0.01
gdl <- k-2
valecrit <- qchisq(1-alpha,df=k-2)
cat("Statistica test: ",valempirico,"\n")
pvalue <- 1-pchisq(valempirico,df=gdl)
cat("pvalue: ",pvalue,"\n")
cat("Valore critico con ampiezza",alpha,"(monolaterale destro): ",valecrit,"\n")
cat("gradi di libertà: ",gdl,"\n")
if(valempirico>valecrit) cat("-> Rifiutare H0 con ampiezza",alpha,"\n") else cat("-> Non rifiutare H0 con ampiezza",alpha,"\n")
cat("Frequenze osservate:\n")
matrix(frequenzeoss,nrow=1,ncol=6,dimnames=list(character(1),c("(136,146]","(146,161]","(161,177]","(177,193]","(193,208]","(208,224]")))
cat("Frequenze attese:\n")
matrix(frequenzecalc,nrow=1,ncol=6,dimnames=list(character(1),c("(136,146]","(146,161]","(161,177]","(177,193]","(193,208]","(208,224]")))
@
\end{itemize}

\begin{figure}[h]
\centering
<<4-4-12-risposta1,fig=TRUE>>=
lim.sx <- -0.5
lim.dx <- 20
x <- seq(lim.sx,lim.dx,by=0.01)
plot(x,dchisq(x,df=4),xlab="x",ylab="Densità",main=
expression(paste("Distribuzione ",chi^2," con 4 gradi di libertà")),type="l")
#xa <- seq(lim.sx,chi2emp,by=0.01)
#ya <- c(dt(xa,df=36),0,0)
#xa <- c(xa,tempirico,lim.sx)
#polygon(xa,ya,col="black")
#xa <- seq(valempirico,lim.dx,by=0.01)
#ya <- c(dchisq(xa,df=3),0,0)
#xa <- c(xa,lim.dx,valempirico)
#polygon(xa,ya,col="black")
abline(h=0)
legend(10,0.15,paste("c = ",round(valempirico,4),"\npvalue = ",round(1-pchisq(valempirico,df=4),7)))
@
 %\caption{\href{file:Figure/Capitolo4/Esercizio-4-4-2-risposta3grafico.pdf}{Test di ipotesi fabio}}
 %\label{fig:4-4-2-risposta3grafico}
\end{figure}

\section*{Esercizio 4.4.13} \addcontentsline{toc}{section}{Esercizio 4.4.13}

\begin{itemize}
<<>>=
data(esercizio.4.4.13)
dataDF <- esercizio.4.4.13
@

\item[1)]
Abbinando ad ogni trattamento un livello del fattore $B$ si ottiene la tabella ANOVA:

<<4-4-13-risposta1>>=
anova(lm(Y ~ code, data = dataDF))
@

\item[2)]
Una soluzione si può ottenere ricorrendo ad opportuni contrasti per le medie di trattamento. Per
saggiare l'effetto dell'esposizione al sole il vettore dei coefficienti vale:

<<4-4-13-risposta2a>>=
matContra <- cbind((c(1,2,1,2,1,2)-1.5)/0.5)
matrix(matContra,nrow=6,dimnames=list(character(6),character(1)))
@

Il vettore delle medie vale:

<<4-4-13-riposta2b>>=
vetPara <- as.vector(by(dataDF$Y,dataDF$code,mean))
vetPara
lamUno <- t(matContra)%*% vetPara
l2 <- lamUno^2 /(t(matContra)%*%matContra/3)
Fempi <- l2 / 13.639
@

Da cui il valore del contrasto \Sexpr{round(lamUno,5)}. La $SS$ dovuta al contrasto vale \Sexpr{round(l2,5)} che
diviso per $QM(e)$ porta ad un valore empirico di $F = $ \Sexpr{round(Fempi,5)}. Per saggiare gli effetti
dovuti all'altitudine si componga la matrice dei contrasti di nome \verb+matContra+:

<<4-4-13-risposta2c>>=
matContra2 <- cbind(
c(2,2,-1,-1,-1,-1),
c(0,0,1,1,-1,-1)
)
matrix(matContra2,nrow=6,dimnames=list(character(6),character(2)))
@

che sono ortogonali, infatti:

<<4-4-13-risposta2d>>=
cat("t(matContra) %*% matContra\n")
matrix(t(matContra2) %*% matContra2,nrow=2,dimnames=list(character(2),character(2)))
@

I valori stimati delle due componenti del contrasto sono:

<<4-4-13-riposta2e>>=
lamDue <- t(matContra2) %*% vetPara
matrix(lamDue,nrow=2,dimnames=list(character(2),character(1)))
l3 <- lamDue[1,]^2  /(t(matContra2[,1])%*%matContra2[,1]/3)
l4 <- lamDue[2,]^2  /(t(matContra2[,2])%*%matContra2[,2]/3)
lsecondo <- l3+l4
qmsecondo <- lsecondo/2
Fempi2 <- qmsecondo / 13.639
@

Pertanto la devianza associata al contrasto vale \Sexpr{round(lsecondo,5)} e $QM(e)$ del contrasto vale
\Sexpr{round(qmsecondo,5)} a cui segue un valore empirico di $F$ pari a \Sexpr{round(Fempi2,5)}.\\
Un contrasto che saggia l'interazione si ottiene con la matrice ottenuta dal prodotto
dei due precedenti contrasti, vettore a vettore:

<<4-4-13-risposta2f>>=
matC3 <- cbind(matContra*matContra2[,1],matContra*matContra2[,2])
matrix(matC3,nrow=6,dimnames=list(character(6),character(2)))
@

che porta alla stima:

<<4-4-13-risposta2g>>=
lamTre <- t(matC3)%*% vetPara
matrix(lamTre,nrow=2,dimnames=list(character(2),character(1)))
SSInterazione <- t(lamTre) %*% solve( t(matC3) %*% matC3 /3) %*% lamTre
qmInterazione <- SSInterazione/2
Fempi3 <- qmInterazione / 13.639
@

e alla devianza del contrasto \Sexpr{round(SSInterazione,5)} e alla $QM$ del contrasto \Sexpr{round(qmInterazione,5)}. Segue
che il valore empirico di $F$ vale \Sexpr{round(Fempi3,5)}.\\Riepilogando i contrasti sottoforma di
tabella ANOVA si ha:

<<4-4-13-risposta2h>>=
anova(lm(Y ~ A * S, data = dataDF))
@
\end{itemize}

\section*{Esercizio 4.4.14} \addcontentsline{toc}{section}{Esercizio 4.4.14}

\begin{itemize}
<<>>=
data(esercizio.4.4.14)
DFlavoro <- esercizio.4.4.14
@

\item[1)]
<<4-4-14-risposta1a>>=
freqassmaschi <- table(rep(DFlavoro$X[esercizio.4.4.14$Y=="0"],times=DFlavoro$frequenze[DFlavoro$Y=="0"]))
freqrelmaschi <- freqassmaschi/sum(freqassmaschi)
matrix(c(as.numeric(names(freqrelmaschi)),as.vector(freqrelmaschi)),nrow=5,dimnames=list(character(5),c("Y=0","Freq")))
freqassfemmine <- table(rep(DFlavoro$X[DFlavoro$Y=="1"],times=DFlavoro$frequenze[DFlavoro$Y=="1"]))
freqrelfemmine <- freqassfemmine/sum(freqassfemmine)
matrix(c(as.numeric(names(freqrelfemmine)),as.vector(freqrelfemmine)),nrow=5,dimnames=list(character(5),c("Y=1","Freq")))
@

\begin{figure}[h]
\centering
<<4-4-14-risposta1b,fig=TRUE>>=
barplot(freqrelmaschi,main="Diagramma di frequenze relative (MASCHI)",ylim=c(0,0.4))
@
 \caption{\href{file:Figure/Capitolo4/Esercizio-4-4-14-risposta1b.pdf}{Barplot maschi}}
 \label{fig:4-4-14-risposta1b}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
\centering
<<4-4-14-risposta1c,fig=TRUE>>=
barplot(freqrelfemmine,main="Diagramma di frequenze relative (FEMMINE)",ylim=c(0,0.4))
@
 \caption{\href{file:Figure/Capitolo4/Esercizio-4-4-14-risposta1c.pdf}{Barplot femmine}}
 \label{fig:4-4-14-risposta1c}
\end{figure}

La Figura~\begin{NoHyper}\ref{fig:4-4-14-risposta1b}\end{NoHyper} rappresenta il diagramma di frequenze relative
per i soli maschi mentre la Figure~\begin{NoHyper}\ref{fig:4-4-14-risposta1c}\end{NoHyper} quello per le sole femmine.

\item[2)] La distribuzione della preferenza dei soli maschi è bimodale (100 e 5000 sono i valori che presentano frequenza assoluta maggiore)
mentre quella delle sole femmine è unimodale (100 è il valore che presenta frequenza assoluta maggiore).

\item[3)]
<<4-4-14-risposta3>>=
frequenzeoss <- matrix(c(freqassmaschi,freqassfemmine),nrow=2,byrow=T,dimnames=list(c("0","1"),c("0","1","10","100","5000")))
enne <- sum(frequenzeoss)
marginY <- apply(frequenzeoss,1,sum)
marginX <- apply(frequenzeoss,2,sum)
frequenzecalc <- matrix(outer(marginY,marginX,"*"),nrow=2)/enne
chi2emp <- sum(frequenzeoss**2/frequenzecalc)-enne
alpha <- 0.01
gdl <- (2-1)*(5-1)
chi2crit <- qchisq(1-alpha,df=gdl)
cat("Statistica test: ",chi2emp,"\n")
cat("Valore critico con ampiezza",alpha,"(monolaterale destro): ",tcrit,"\n")
cat("gradi di libertà: ",gdl,"\n")
if(chi2emp>chi2crit) cat("-> Rifiutare H0 con ampiezza",alpha,"\n") else cat("-> Non rifiutare H0 con ampiezza",alpha,"\n")
cat("Frequenze osservate:\n")
matrix(frequenzeoss,nrow=2,ncol=5,dimnames=list(c("Y = 0","Y = 1"),c("X = 0","X = 1","X = 10","X = 100","X = 5000")))
cat("Frequenze attese:\n")
matrix(frequenzecalc,nrow=2,ncol=5,dimnames=list(c("Y = 0","Y = 1"),c("X = 0","X = 1","X = 10","X = 100","X = 5000")))
cat("Residui di Pearson:\n")
matrix((frequenzeoss-frequenzecalc)/sqrt(frequenzecalc),nrow=2,ncol=5,dimnames=list(c("Y = 0","Y = 1"),c("X = 0","X = 1","X = 10","X = 100","X = 5000")))
@

\item[4)]
<<4-4-14-risposta4>>=
pvalue <- 1-pchisq(chi2emp,df=gdl)
cat("pvalue: ",pvalue,"\n")
@
\end{itemize}

\begin{figure}[h]
\centering
<<4-4-14-risposta4,fig=TRUE>>=
lim.sx <- -0.5
lim.dx <- 20
x <- seq(lim.sx,lim.dx,by=0.01)
plot(x,dchisq(x,df=4),xlab="x",ylab="Densità",main=
expression(paste("Distribuzione ",chi^2," con 4 gradi di libertà")),type="l")
#xa <- seq(lim.sx,chi2emp,by=0.01)
#ya <- c(dt(xa,df=36),0,0)
#xa <- c(xa,tempirico,lim.sx)
#polygon(xa,ya,col="black")
#xa <- seq(valempirico,lim.dx,by=0.01)
#ya <- c(dchisq(xa,df=3),0,0)
#xa <- c(xa,lim.dx,valempirico)
#polygon(xa,ya,col="black")
abline(h=0)
legend(10,0.15,paste("c = ",round(chi2emp,5),"\npvalue = ",signif(pvalue,7)))
@
 %\caption{\href{file:Figure/Capitolo4/Esercizio-4-4-2-risposta3grafico.pdf}{Test di ipotesi fabio}}
 %\label{fig:4-4-2-risposta3grafico}
\end{figure}

\section*{Esercizio 4.4.15} \addcontentsline{toc}{section}{Esercizio 4.4.15}

\begin{itemize}
<<>>=
data(iris)
@

\item[1)]
\begin{figure}[h]
\centering
<<4-4-15-risposta1,fig=TRUE>>=
risposta <- iris$Petal.Length
fattore <- iris$Species
boxplot(risposta~fattore,main="Boxplot di Petal.Length per Species")
@
 \caption{\href{file:Figure/Capitolo4/Esercizio-4-4-15-risposta1.pdf}{Barplot per specie}}
 \label{fig:4-4-15-risposta1}
\end{figure}

La Figura~\begin{NoHyper}\ref{fig:4-4-15-risposta1}\end{NoHyper} rappresenta il Boxplot della risposta
per ogni specie.

\item[2)]
<<4-4-15-risposta2>>=
varSetosa <- var(risposta[fattore=="setosa"])
cat("stima puntuale varianza per specie Setosa: ",varSetosa,"\n")
varVersicolor <- var(risposta[fattore=="versicolor"])
cat("stima puntuale varianza per specie Versicolor: ",varVersicolor,"\n")
varVirginica <- var(risposta[fattore=="virginica"])
cat("stima puntuale varianza per specie Virginica: ",varVirginica,"\n")
@

\item[3)]
<<4-4-15-risposta3>>=
sintesiSetosa <- fiveNumbersSummary(risposta[fattore=="setosa"])
cat("Sintesi descrittiva per specie Setosa:")
sintesiSetosa
sintesiVersicolor <- fiveNumbersSummary(risposta[fattore=="versicolor"])
cat("Sintesi descrittiva per specie Versicolor:")
sintesiVersicolor
sintesiVirginica <- fiveNumbersSummary(risposta[fattore=="virginica"])
cat("Sintesi descrittiva per specie Virginica:")
sintesiVirginica
@

\item[4)]
<<4-4-15-risposta4>>=
nSetosa <- length(risposta[fattore=="setosa"])
nVersicolor <- length(risposta[fattore=="versicolor"])
nVirginica <- length(risposta[fattore=="virginica"])
alpha <- 0.05
l1chis2Setosa <- (nSetosa-1)*varSetosa/qchisq(1-alpha/2,df=nSetosa-1)
l2chis2Setosa <- (nSetosa-1)*varSetosa/qchisq(alpha/2,df=nSetosa-1)
cat("1-alpha: ",1-alpha,"\n")
cat("Intervallo di confidenza per specie Setosa: (",l1chis2Setosa,",",l2chis2Setosa,")\n")
l1chis2Versicolor <- (nVersicolor-1)*varVersicolor/qchisq(1-alpha/2,df=nVersicolor-1)
l2chis2Versicolor <- (nVersicolor-1)*varVersicolor/qchisq(alpha/2,df=nVersicolor-1)
cat("Intervallo di confidenza per specie Versicolor: (",l1chis2Versicolor,",",l2chis2Versicolor,")\n")
l1chis2Virginica <- (nVirginica-1)*varVirginica/qchisq(1-alpha/2,df=nVirginica-1)
l2chis2Virginica <- (nVirginica-1)*varVirginica/qchisq(alpha/2,df=nVirginica-1)
cat("Intervallo di confidenza per specie Virginica: (",l1chis2Virginica,",",l2chis2Virginica,")\n")
@

\item[5)]
<<4-4-15-risposta5>>=
cat("H0: mu1 = mu2 = mu3 \nH1: almeno una mu diversa dalle altre")
media <- mean(risposta)
mediaSetosa <- mean(risposta[fattore=="setosa"])
mediaVersicolor <- mean(risposta[fattore=="versicolor"])
mediaVirginica <- mean(risposta[fattore=="virginica"])
k <- 3
n <- length(risposta)
DEVTRA <- sum(c(nSetosa,nVersicolor,nVirginica)*(c(mediaSetosa,mediaVersicolor,mediaVirginica)-media)**2)
DEVTOT <- sum((risposta-media)**2)
GDLTRA <- k-1
MQTRA <- DEVTRA/GDLTRA
DEVERR <- DEVTOT-DEVTRA
GDLERR <- n-k
MQERR <- DEVERR/GDLERR
Fval <- MQTRA/MQERR
pvalue <- 1-pf(Fval,df1=GDLTRA,df2=GDLERR)
alpha <- 0.05
Fcrit <- qf(1-alpha,df1=GDLTRA,df2=GDLERR)
cat("Statistica test: ",Fval,"\n")
cat("Valore critico con ampiezza",alpha,"(monolaterale destro): ",Fcrit,"\n")
cat("gradi di libertà: (",GDLTRA,",",GDLERR,")\n")
if(Fval>Fcrit) cat("-> Rifiutare H0 con ampiezza",alpha,"\n") else cat("-> Non rifiutare H0 con ampiezza",alpha,"\n")
@

\begin{figure}[h]
\centering
<<4-4-15-risposta5,fig=TRUE>>=
lim.sx <- -0.5
lim.dx <- 6
x <- seq(lim.sx,lim.dx,by=0.01)
plot(x,df(x,df1=2,df2=147),xlab="x",ylab="Densità",main=
expression(paste("Distribuzione ",italic(F)," di Fisher con 2 e 147 gradi di libertà")),type="l")
#xa <- seq(lim.sx,tempirico,by=0.01)
#ya <- c(dt(xa,df=36),0,0)
#xa <- c(xa,tempirico,lim.sx)
#polygon(xa,ya,col="black")
#xa <- seq(-tempirico,lim.dx,by=0.01)
#ya <- c(dt(xa,df=77),0,0)
#xa <- c(xa,lim.dx,-tempirico)
#polygon(xa,ya,col="black")
abline(h=0)
legend(4,0.8,paste("F = ",round(Fval,3),"\npvalue = ",round(pvalue,9)))
@
 %\caption{\href{file:Figure/Capitolo4/Esercizio-4-4-2-risposta3grafico.pdf}{Test di ipotesi fabio}}
 %\label{fig:4-4-2-risposta3grafico}
\end{figure}

\item[6)]
<<4-4-15-risposta6>>=
cat("media campionaria per specie Setosa: ",mediaSetosa,"\n")
cat("media campionaria per specie Versicolor: ",mediaVersicolor,"\n")
cat("media campionaria per specie Virginica: ",mediaVirginica,"\n")
@

Le medie campionarie sono molto differenti tra loro (quella di Virginica è circa 4 volte quella di Setosa) a parità
di dimensione campionaria ($50$). Questo fa propendere per il rifiuto dell'ipotesi nulla.
L'ipotesi di uguaglianza tra le varianze condizionate non sembra comunque trovare un buon riscontro nei dati.
\end{itemize}

\end{document}

